Verdopplungszeit

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter der Verdopplungszeit versteht.

Notwendiges Vorwissen: Exponentielles Wachstum

Die Verdopplungszeit \(t_V\) ist die Zeitspanne,
nach der sich der Anfangsbestand \(B(0)\) verdoppelt hat.

Beispiel

Die Bevölkerung Irlands (4,6 Millionen Einwohner) wächst um 4 % pro Jahr.
Wie lange dauert es, bis sich die Einwohnerzahl Irlands verdoppelt?

Ansatz: \(B(t) = B(0) \cdot q^t\)

Anfangsbestand \(B(0) = 4.600.000\)

Wachstumsfaktor \(q = 1 + \frac{p}{100} = 1 + \frac{4}{100} = 1 + 0,04 = 1,04\)

\(\Rightarrow B(t) = 4.600.000 \cdot 1,04^t\)

Die Bevölkerung verdoppelt sich, wenn gilt: \(1,04^t = 2\).
Dabei handelt es sich um eine Exponentialgleichung.

\(\begin{align*}
1,04^t &= 2 &&{\color{gray}| \text{ Logarithmieren}}\\[5pt]
\ln(1,04^t) &= \ln(2) &&{\color{gray}| \text{ Logarithmusgesetz anwenden}}\\[5pt]
t \cdot \ln(1,04) &= \ln(2) &&{\color{gray}| :\ln(1,04)}\\[5pt]
t &= \frac{\ln(2)}{\ln(1,04)}\\[5pt]
t &\approx 17,67
\end{align*}\)

Nach ungefähr 17,67 Jahren hat sich die Bevölkerung Irlands verdoppelt.

Formel für die Verdopplungszeit \(t_V\)
\[t_V = \frac{\ln(2)}{\ln(q)}\]

\(q\) ist der Wachstumsfaktor: \(q = 1 + \frac{p}{100}\).

Um die Verdopplungszeit zu berechnen, müssen wir nur den Prozentsatz \(p\) (= Wachstumsrate) kennen, der angibt, um wie viel Prozent der Bestand pro Zeiteinheit (z. B. Jahre) wächst.

Verwandt mit der Verdopplungszeit \(t_V\) ist die Halbwertszeit \(t_H\).

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!