Raute

Beispiel einer Raute

Die vier gleich langen Seiten bezeichnen wir mit dem Kleinbuchstaben $a$.

Jedes Viereck hat vier Ecken.

Jedes Viereck hat vier Seiten.

In jedem Viereck
– gibt es vier Innenwinkel
– beträgt die Winkelsumme $360^\circ$
   $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$

Jedes Viereck hat zwei Diagonalen.

In einer Raute sind
– alle Seiten gleich lang
   $a = b = c = d$
– gegenüberliegende Seiten parallel
   $a \parallel c$ und $b \parallel d$

In einer Raute
– sind gegenüberliegende Winkel gleich groß
   $\alpha = \gamma$ und $\beta = \delta$
– ergänzen sich benachbarte Winkel zu $180^\circ$
   $\alpha + \beta = \beta + \gamma = \gamma + \delta = \delta + \alpha = 180^\circ$

Die Diagonalen einer Raute
– halbieren einander
– stehen aufeinander senkrecht ($e \bot f$)
– halbieren die Innenwinkel der Raute

Eine Raute ist achsensymmetrisch zu
– den beiden Diagonalen

Eine Raute ist punktsymmetrisch zu
– dem Schnittpunkt der Diagonalen $S$

Die Höhe einer Raute entspricht dem Abstand der parallelen Seiten.

In einer Raute sind alle Höhen gleich lang. $h_a = h_b = h_c = h_d$

Eine Raute besitzt einen Inkreis. ($\Rightarrow$ Tangentenviereck)

Mittelpunkt: Diagonalenschnittpunkt $S$

Radius: $r_i = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sin \alpha$ Der Inkreisradius entspricht dem Normalabstand des Mittelpunkts zu einer Seite der Raute.

$$ U = 4a $$

Umfang einer Raute

$$ \begin{align*} A &= a \cdot h_a &&{\color{gray}|\text{ 1. Formel}} \\[5px] &= \frac{1}{2} e f &&{\color{gray}|\text{ 2. Formel}} \\[5px] &= a^2 \sin \alpha &&{\color{gray}|\text{ 3. Formel}} \end{align*} $$

Flächeninhalt einer Raute

$$ e = 2 \cdot a \cdot \cos\frac{\alpha}{2} $$

$$ f = 2 \cdot a \cdot \sin\frac{\alpha}{2} $$

$$ a = \sqrt{\left(\frac{e}{2}\right)^2 + \left(\frac{f}{2}\right)^2} $$

Quadrat

= rechtwinklige Raute