Umfang: Quadrat
In diesem Kapitel lernen wir, den Umfang eines Quadrats zu berechnen.
Ein Quadrat
ist eine geometrische Figur, genauer gesagt ein Viereck, mit speziellen Eigenschaften und Umfang
ist der Fachbegriff für die Länge der Begrenzungslinie einer geometrischen Figur.
Erforderliches Vorwissen
Herleitung der Formel
Ein allgemeines Viereck hat vier unterschiedlich lange Seiten.
Umfangsformel$U = a + b + c + d$
Die Umfangsformel können wir vereinfachen, wenn Seiten mit gleicher Länge vorkommen. In einem Quadrat ist genau das der Fall, denn:
Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten.$a = b = c = d$
Für den Umfang gilt folglich:
$$ \begin{align*} U &= a + a + a + a \\[5px] &= 4a \end{align*} $$
Formel
$$ U = 4a $$
Um den Umfang eines Quadrats berechnen zu können, müssen wir die Länge einer Seite kennen. Unter Umständen ist ein Ausmessen erforderlich.
Eine Länge – wie $5\ \textrm{cm}$ – ist eine Größe, die aus einer Maßzahl und einer Maßeinheit besteht.
Längen können bekanntlich nur addiert werden, wenn sie in derselben Maßeinheit vorliegen. Deshalb müssen wir gegebenenfalls die Einheiten auf eine gemeinsame Einheit umrechnen.
Wichtige Maßeinheiten für Längen (Längenmaße)
- Millimeter (
$\textrm{mm}$) - Zentimeter (
$\textrm{cm}$) - Dezimeter (
$\textrm{dm}$) - Meter (
$\textrm{m}$) - Kilometer (
$\textrm{km}$)
Ein Platzhalter für eine beliebige Längeneinheit ist $\textrm{LE}$.
Beispiele
Seitenlänge gegeben
Formel aufschreiben
Wert für $\boldsymbol{a}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Wie groß ist der Umfang eines Quadrat mit der Seitenlänge $a = 2\ \textrm{cm}$?
Formel aufschreiben
$$ U = 4a $$
Wert für $\boldsymbol{a}$ einsetzen
$$ \phantom{U} = 4 \cdot 2\ \textrm{cm} $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{U} = 8\ \textrm{cm} $$
Wie groß ist der Umfang eines Quadrat mit der Seitenlänge $a = 4\ \textrm{m}$?
Formel aufschreiben
$$ U = 4a $$
Wert für $\boldsymbol{a}$ einsetzen
$$ \phantom{U} = 4 \cdot 4\ \textrm{m} $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{U} = 16\ \textrm{m} $$
Wie groß ist der Umfang eines Quadrat mit der Seitenlänge $a = 6\ \textrm{LE}$?
Formel aufschreiben
$$ U = 4a $$
Wert für $\boldsymbol{a}$ einsetzen
$$ \phantom{U} = 4 \cdot 6\ \textrm{LE} $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{U} = 24\ \textrm{LE} $$
Flächeninhalt gegeben
$\boldsymbol{a}$ berechnen
Formel aufschreiben
Formel nach $a$ auflösen
Wert für $A$ einsetzen
Ergebnis berechnen
$\boldsymbol{U}$ berechnen
Formel aufschreiben
Wert für $a$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Wie groß ist der Umfang eines Quadrats mit dem Flächeninhalt $A = 25\ \textrm{cm}^2$?
$\boldsymbol{a}$ berechnen
Formel aufschreiben
$$ A = a^2 $$
Formel nach $a$ auflösen
$$ \begin{align*} A &= a^2 &&\text{| Seiten vertauschen} \\ a^2 &= A &&\text{| Wurzel ziehen} \\ \sqrt{a^2} &= \sqrt{A} \\ a &= \sqrt{A} \end{align*} $$
Wert für $A$ einsetzen
$$ a = \sqrt{25\ \textrm{cm}^2} $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{a} = 5\ \textrm{cm} $$
$\boldsymbol{U}$ berechnen
Formel aufschreiben
$$ U = 4a $$
Wert für $a$ einsetzen
$$ \phantom{U} = 4 \cdot 5\ \textrm{cm} $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{U} = 20\ \textrm{cm} $$
Diagonale gegeben
$\boldsymbol{a}$ berechnen
Formel aufschreiben
Formel nach $a$ auflösen
Wert für $d$ einsetzen
Ergebnis berechnen
$\boldsymbol{U}$ berechnen
Formel aufschreiben
Wert für $a$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Wie groß ist der Umfang eines Quadrats mit der Diagonale $d = 3\ \textrm{m}$?
$\boldsymbol{a}$ berechnen
Formel aufschreiben
$$ d = a\sqrt{2} $$
Formel nach $a$ auflösen
$$ \begin{align*} d &= a\sqrt{2} &&\text{| Seiten vertauschen} \\[5px] a\sqrt{2} &= d &&\text{|: $\sqrt{2}$} \\[5px] \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2}} &= \frac{d}{\sqrt{2}} \\[5px] a &= \frac{d}{\sqrt{2}} \end{align*} $$
Wert für $d$ einsetzen
$$ \begin{align*} a &= \frac{3\ \textrm{m}}{\sqrt{2}} \\[5px] &= \frac{3}{\sqrt{2}}\ \textrm{m} \end{align*} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{a} &= \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\ \textrm{m} \\[5px] &= \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}\ \textrm{m} \\[5px] &= \frac{3\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2 \cdot 2}}\ \textrm{m} \\[5px] &= \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{4}}\ \textrm{m} \\[5px] &= \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{2}\ \textrm{m} \\[5px] &= \frac{3}{2}\sqrt{2}\ \textrm{m} \\[5px] &= 1{,}5\sqrt{2}\ \textrm{m} \end{align*} $$
$\boldsymbol{U}$ berechnen
Formel aufschreiben
$$ U = 4a $$
Wert für $a$ einsetzen
$$ \phantom{U} = 4 \cdot 1{,}5\sqrt{2}\ \textrm{m} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{U} &= 6\sqrt{2}\ \textrm{m} \\[5px] &\approx 8{,}49\ \textrm{m} \end{align*} $$
