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Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wann Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse vorliegt.

Symmetrie zu einer Achse liegt vor, wenn gilt

\(f(x_0+h) = f(x_0-h)\)

Dabei ist \(x_0\) die Gleichung der Achse.

Das Vorgehen lässt sich also folgendermaßen beschreiben

  1. \(x_0+h\) in die Funktion einsetzen
  2. \(x_0-h\) in die Funktion einsetzen
  3. Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen

Beispiel 1

\(f(x) = x^2 - 4x + 4\)

Ist die Funktion \(f(x)\) zur Achse \(x_0 = 2\) symmetrisch?

1.) \(x_0+h\) in die Funktion einsetzen

\(\begin{align*}
f({\color{red}x_0+h}) &= ({\color{red}2+h})^2 - 4({\color{red}2+h}) + 4\\
&= 4 +4h + h^2 - 8 - 4h + 4\\
&= h^2
\end{align*}\)

2.) \(x_0-h\) in die Funktion einsetzen

\(\begin{align*}
f({\color{red}x_0-h}) &= ({\color{red}2-h})^2 - 4({\color{red}2-h}) + 4\\
&= 4 - 4h + h^2 - 8 + 4h + 4\\
&= h^2
\end{align*}\)

3.) Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen

Wegen

\(f(x_0+h)=f(x_0-h)\)

bzw.

\(h^2 = h^2\)

ist die Funktion \(f(x)\) zur Achse mit der Gleichung \(x_0 = 2\) symmetrisch.

Beispiel 2

\(f(x) = x^2 + 6x + 9\)

Ist die Funktion \(f(x)\) zur Achse \(x_0 = -3\) symmetrisch?

1.) \(x_0+h\) in die Funktion einsetzen

\(\begin{align*}
f({\color{red}x_0+h}) &= ({\color{red}-3+h})^2 + 6({\color{red}-3+h}) + 9\\
&= 9 - 6h + h^2 - 18 + 6h + 9\\
&= h^2
\end{align*}\)

2.) \(x_0-h\) in die Funktion einsetzen

\(\begin{align*}
f({\color{red}x_0-h}) &= ({\color{red}-3-h})^2 + 6({\color{red}-3-h}) + 9\\
&= 9 + 6h + h^2 - 18 - 6h + 9\\
&= h^2
\end{align*}\)

3.) Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen

Wegen

\(f(x_0+h)=f(x_0-h)\)

bzw.

\(h^2 = h^2\)

ist die Funktion \(f(x)\) zur Achse mit der Gleichung \(x_0 = -3\) symmetrisch.

Achsensymmetrie - Graphisches Beispiel

Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion \(f(x)=x^2-4x+4\) eingezeichnet (vgl. Beispiel 1). Die Symmetrieachse \(x_0 = 2\) ist farblich durch eine gestrichelte rote Linie hervorgehoben.
Als Beispiel ist der Punkt P (4|4) eingezeichnet. Dieser wird durch die Symmetrieachse auf den Punkt P'(0|4) abgebildet. Dabei gilt:
\(f(4)=4^2-4 \cdot 4 +4 = 4\)
\(f(0)= 0^2-4 \cdot 0 +4 = 4\)
bzw.
\(f(2+h)=f(2-h)\)

Mehr zum Symmetrieverhalten

Wenn du mehr zum Symmetrieverhalten erfahren möchtest, lies dir folgende Kapitel durch:

  Bedingung
Achsensymmetrie zur y-Achse \(f(-x) = f(x)\)
Punktsymmetrie zum Ursprung \(f(-x) = -f(x)\)
Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse \(f(x_0+h) = f(x_0-h)\)
Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt \(f(x_0+h)-y_0 = -f(x_0-h)+y_0\)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!