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Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wann Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt vorliegt.

Symmetrie zu einem Punkt liegt vor, wenn gilt

\(f(x_0+h) - y_0= - f(x_0-h) + y_0\)

Dabei sind \(x_0\) und \(y_0\) die Koordinaten des Punktes.

Das Vorgehen lässt sich also folgendermaßen beschreiben

  1. \(f(x_0+h) - y_0\) berechnen
  2. \(- f(x_0-h) + y_0\) berechnen
  3. Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen

Beispiel 1

\[f(x) = \frac{x}{x-1}\]

Ist die Funktion \(f(x)\) zum Punkt \((1|1)\) symmetrisch?

1.) \(f(x_0+h) - y_0\) berechnen

\[\begin{align*}
f({\color{red}x_0+h}) - {\color{blue}y_0} &= \frac{{\color{red}1+h}}{{\color{red}1+h}-1} - {\color{blue}1}\\
&= \frac{1+h}{h} - \frac{h}{h}\\
&= \frac{1}{h} + \frac{h}{h} - \frac{h}{h}\\
&= \frac{1}{h}
\end{align*}\]

2.) \(- f(x_0-h) + y_0\) berechnen

\[\begin{align*}
- f({\color{red}x_0-h}) + {\color{blue}y_0} &= -\left[\frac{{\color{red}1-h}}{{\color{red}1-h}-1}\right] + {\color{blue}1}\\
&= - \left[\frac{1-h}{-h}\right] + 1\\
&= - \left[-\frac{1-h}{h}\right] + 1\\
&= \frac{1-h}{h} + \frac{h}{h}\\
&= \frac{1}{h} -\frac{h}{h} + \frac{h}{h}\\
&= \frac{1}{h}
\end{align*}\]

3.) Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen

Wegen

\(f(x_0+h) - y_0 = - f(x_0-h) + y_0\)

bzw.

\[\frac{1}{h}=\frac{1}{h}\]

ist die Funktion \(f(x)\) zum Punkt \((1|1)\) symmetrisch.

Beispiel 2

\(f(x) = x^3 + 3x^2\)

Ist die Funktion \(f(x)\) zum Punkt \((-1|2)\) symmetrisch?

1.) \(f(x_0+h) - y_0\) berechnen

\(\begin{align*}
f({\color{red}x_0+h}) - {\color{blue}y_0} &= \left[({\color{red}-1+h})^3 + 3({\color{red}-1+h})^2\right] - {\color{blue}2}\\
&= \left[\left(1 - 2h +h^2\right) \cdot \left(-1+h\right) + 3\left(1-2h+h^2\right)\right] - 2\\
&= \left[-1 + 2h - h^2 + h - 2h^2 + h^3 + 3 -6h + 3h^2\right] - 2\\
&= \left[h^3 - 3h + 2\right] - 2\\
&= h^3 - 3h\end{align*}\)

2.) \(- f(x_0-h) + y_0\) berechnen

\(\begin{align*}
- f({\color{red}x_0-h}) + {\color{blue}y_0} &= -\left[({\color{red}-1-h})^3 + 3({\color{red}-1-h})^2\right] + {\color{blue}2}\\
&= -\left[\left(1+2h+h^2\right) \cdot \left(-1-h\right) + 3(1+2h+h^2)\right] + 2\\
&= -\left[-1 -2h -h^2 -h -2h^2 -h^3 + 3 + 6h + 3h^2 \right] + 2\\
&= -\left[-h^3 +3h + 2\right] + 2\\
&= h^3 - 3h
\end{align*}\)

3.) Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen

Wegen

\(f(x_0+h) - y_0 = - f(x_0-h) + y_0\)

bzw.

\(h^3 - 3h = h^3 - 3h\)

ist die Funktion \(f(x)\) zum Punkt \((-1|2)\) symmetrisch.

Punktsymmetrie - Graphisches Beispiel

Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion \(f(x)=x^3+3x^2\) eingezeichnet (vgl. Beispiel 2).

Der Punkt S (-1|2), zu dem der Graph der Funktion punktsymmetrisch ist, wurde farblich hervorgehoben.

Mehr zum Symmetrieverhalten

Wenn du mehr zum Symmetrieverhalten erfahren möchtest, lies dir folgende Kapitel durch:

  Bedingung
Achsensymmetrie zur y-Achse \(f(-x) = f(x)\)
Punktsymmetrie zum Ursprung \(f(-x) = -f(x)\)
Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse \(f(x_0+h) = f(x_0-h)\)
Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt \(f(x_0+h)-y_0 = -f(x_0-h)+y_0\)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!