Tangentensteigung

In diesem Kapitel besprechen wir, wie man die Tangentensteigung berechnet.

Es empfiehlt sich, zunächst den Artikel zum Differentialquotienten zu lesen.

Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve in einem bestimmten Punkt berührt.

Wie kann man sich eine Tangente graphisch vorstellen?

Gegeben ist eine beliebige Kurve.

Wir wählen einen Punkt auf der Kurve aus.

Der Punkt \(\text{P}_0\) besitzt die Koordinaten \((x_0|y_0)\).

Gesucht ist die Steigung der Geraden, die die Kurve im Punkt \(\text{P}_0\) berührt.

Wie man die Steigung dieser Geraden (Tangentensteigung) berechnet, wird im nächsten Abschnitt ausführlich besprochen.

Tangentensteigung berechnen

Es gibt im Wesentlichen drei Möglichkeiten, um die Steigung einer Tangenten zu berechnen:

Normalerweise verwendet man die Ableitung zur Berechnung der Tangentensteigung. Es gibt allerdings zwei Ausnahmen: die Ableitung wurde im Unterricht noch nicht besprochen oder der Einsatz des Differentialquotienten bzw. der h-Methode ist in der Aufgabe ausdrücklich vorgeschrieben.

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Funktion \(f(x) = x^2\).

Berechne die Steigung der Tangenten an der Stelle \(x_0 = 2\).

a) Berechnung der Tangentensteigung mit Hilfe der Ableitung

Die Ableitung der Funktion \(f(x) = x^2\) ist \(f'(x) = 2x\).

Um die Tangentensteigung an der Stelle \(x_0 = 2\) zu berechnen, müssen wir diese Stelle lediglich in die Ableitungsfunktion einsetzen:

\(m = f'(x_0) = f'(2) = 2 \cdot 2 = 4\)

Antwort: Die Steigung der Tangente ist \(m = 4\).

b) Berechnung der Tangentensteigung mit Hilfe des Differentialquotienten

Der Differentialquotient lautet

\[m = \lim_{x_1 \to x_0} \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}\]

Für unser Beispiel gilt:

  • \(f(x_1) = x_1^2\)
  • \(f(x_0) = f(2) = 2^2 = 4\)
  • \(x_1\)
  • \(x_0 = 2\)

Jetzt setzen wir die entsprechenden Werte in den Differentialquotienten ein

\[m = \lim_{x_1 \to 2} \frac{x_1^2 - 4}{x_1 - 2}\]

Im Zähler können wir die 3. Binomische Formel anwenden

\[m = \lim_{x_1 \to 2} \frac{(x_1 + 2)(x_1 - 2)}{x_1 - 2}\]

und anschließend kürzen

\[\begin{align*}
m &= \lim_{x_1 \to 2} \frac{(x_1 + 2)\cancel{(x_1 - 2)}}{\cancel{x_1 - 2}} \\ \\
&= \lim_{x_1 \to 2} x_1 + 2
\end{align*}\]

Für den Grenzwert gilt folglich

\[m = \lim_{x_1 \to 2} x_1 + 2 = 4\]

Antwort: Die Steigung der Tangente ist \(m = 4\).

c) Berechnung der Tangentensteigung mit Hilfe der h-Methode

Die Formel für die h-Methode lautet

\[m = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\]

Für unser Beispiel gilt:

  • \(f(x_0 + h) = (x_0 + h)^2 = (2 + h)^2\)
  • \(f(x_0) = f(2) = 2^2 = 4\)
  • \(h\)

Jetzt setzen wir die entsprechenden Werte in die Formel für die h-Methode ein

\[m = \lim_{h \to 0} \frac{(2 + h)^2 - 4}{h}\]

Zähler ausmultiplizieren

\[\begin{align*}
m &= \lim_{h \to 0} \frac{4 + 4h + h^2 - 4}{h} \\ \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{4h + h^2}{h}
\end{align*}\]

\(h\) im Zähler ausklammern

\[m = \lim_{h \to 0} \frac{h \cdot (4 + h)}{h}\]

Kürzen

\[\begin{align*}
m &= \lim_{h \to 0} \frac{\cancel{h} \cdot (4 + h)}{\cancel{h}} \\ \\
&= \lim_{h \to 0} 4 + h
\end{align*}\]

Für den Grenzwert gilt folglich:

\[m = \lim_{h \to 0} 4 + h = 4\]

Antwort: Die Steigung der Tangente ist \(m = 4\).

Fazit

Es ist am einfachsten, die Tangentensteigung mit Hilfe der Ableitung zu berechnen.

Schreibweisen der Tangentensteigung

Leider sind für die Formel zur Berechnung der Tangentensteigung verschiedene Schreibweisen verbreitet. Davon darf man sich nicht verunsichern lassen. Im Folgenden werden einige dieser Schreibweisen erwähnt:

\[\begin{align*}
m &= \lim_{x_1 \to x_0} \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \\ \\
& = \lim_{x_1 \to x_0} \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{(x_0 + \Delta x) - x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \\ \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}
\end{align*}\]

Mehr zu den verschiedenen Schreibweisen erfährst du im Artikel zum Differentialquotienten.

Mehr zum Thema Differentialrechnung

Im Zusammenhang mit der Differentialrechnung gibt es einige interessante Themen:

Steigung einer linearen Funktion
(Geradensteigung)

\[m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} = \frac{\Delta y}{\Delta x}\]

Differenzenquotient
(> Sekantensteigung)

\[m = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} = \frac{\Delta y}{\Delta x}\]

Differentialquotient
(> Tangentensteigung)
\[m = \lim_{x_1 \to x_0} \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}\]
h-Methode
(> Ableitung)
\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\]

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!