Betragsungleichungen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Betragsungleichungen sind und wie man sie löst.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Ungleichung?
- Was ist der Betrag?
Definition
Ungleichungen, in denen Beträge vorkommen, heißen Betragsungleichungen.
Betragsungleichung rechnerisch lösen
Betragsungleichungen lassen sich durch Fallunterscheidung oder durch Quadrieren lösen. Das Quadrieren hat den Nachteil, dass sich dadurch meist die Ungleichung verkompliziert und somit der Lösungsweg länger wird. Die Standardmethode ist deshalb die Fallunterscheidung.
Fallunterscheidung
Betrag durch Fallunterscheidung auflösen
Lösungsmengen der einzelnen Fälle bestimmen
Lösungsmenge der Betragsungleichung bestimmen
zu 1)
Aus der Definition des Betrags
$$ \begin{equation*} |a| = \begin{cases} a &\text{für } a \geq 0 \\[5px] -a &\text{für } a < 0 \end{cases} \end{equation*} $$
ergeben sich folgende zwei Fälle:
- Wenn der Term im Betrag größer oder gleich Null ist (
$a \geq 0$), können wir den Term einfach ohne Betragsstriche schreiben ($|a| = a$). - Wenn der Term im Betrag kleiner als Null ist
$a < 0$, müssen wir die Vorzeichen des Terms umdrehen, um die Betragsstriche weglassen zu können ($|a| = -a$).
zu 2)
Die Lösungsmengen geben wir als Intervalle an.
zu 3)
Die Lösungsmenge der Ungleichung ist die Vereinigungsmenge der einzelnen Lösungsmengen.
$$ |x + 1| < 3 $$
Betrag durch Fallunterscheidung auflösen
Aus der Definition des Betrags ergibt sich
$$ \begin{equation*} |x + 1| = \begin{cases} x + 1 &\text{für } {\color{green}x + 1 \geq 0} \\[5px] -(x + 1) &\text{für } {\color{red}x + 1 < 0} \end{cases} \end{equation*} $$
Im Folgenden lösen wir die beiden Bedingungen nach $x$ auf, um zu berechnen, für welches $x$ der Term im Betrag größer oder gleich Null (1. Fall) bzw. kleiner Null (2. Fall) ist.
1. Fall: $x + 1 \geq 0$
$$ \begin{align*} x + 1 &\geq 0 &&{\color{gray}|\, -1} \\[5px] x &\geq -1 \end{align*} $$
2. Fall: $x + 1 < 0$
$$ \begin{align*} x + 1 &< 0 &&{\color{gray}|\, -1} \\[5px] x &< -1 \end{align*} $$
Zusammenfassung
$$ \begin{equation*} |x + 1| = \begin{cases} x + 1 &\text{für } {\color{green}x \geq -1} \\[5px] -(x + 1) &\text{für } {\color{red}x < -1} \end{cases} \end{equation*} $$
Lösungsmengen der einzelnen Fälle bestimmen
Fall 1: $x \geq -1$
Für $x \geq -1$ können wir Ungleichung $|x + 1| < 3$ umschreiben zu
$$ x + 1 < 3 $$
Jetzt müssen wir noch die Ungleichung nach $x$ auflösen:
$$ x + 1 {\color{gray}\:-\:1} < 3 {\color{gray}\:-\:1} $$
$$ x < 2 $$
Die Lösungsmenge $\mathbb{L}_1$ muss sowohl die Bedingung $x \geq -1$ (1. Fall) als auch $x < 2$ (Lösung 1. Fall) erfüllen:
$$ \mathbb{L}_1 = [-1;2[ $$
Fall 2: $x < -1$
Für $x < -1$ können wir Ungleichung $|x + 1| < 3$ umschreiben zu
$$ -(x + 1) < 3 $$
Jetzt müssen wir noch die Ungleichung nach $x$ auflösen:
$$ -x - 1 < 3 $$
$$ -x - 1 {\color{gray}\:+\:1} < 3 {\color{gray}\:+\:1} $$
$$ -x < 4 $$
$$ -x {\color{gray}\:\cdot\:(-1)} > 4 {\color{gray}\:\cdot\:(-1)} $$
$$ x > -4 $$
Die Lösungsmenge $\mathbb{L}_2$ muss sowohl die Bedingung $x < -1$ (2. Fall) als auch $x > -4$ (Lösung 2. Fall) erfüllen:
$$ \mathbb{L}_2 = \; ]-4;-1[ $$
Lösungsmenge der Betragsungleichung bestimmen
$$ \begin{align*} \mathbb{L} &= \mathbb{L}_2 \cup \mathbb{L}_1 \\[5px] &= \; ]-4;-1[ \: \cup \: [-1;2[ \; \\[5px] &= \; ]-4;2[ \end{align*} $$
Quadrieren
Betragsungleichung quadrieren
Ungleichung lösen
zu 1)
Durch Quadrieren verschwindet der Betrag, denn es gilt: $|a|^2 = a^2$.
$$ |x + 1| < 3 $$
Betragsungleichung quadrieren
$$ \begin{align*} |x + 1| &< 3 &&{\color{gray}| \phantom{x}^2} \\[5px] |x + 1|^2 &< 3^2 \\[5px] (x+1)^2 &< 3^2 \\[5px] x^2 + 2x + 1 &< 9 \end{align*} $$
Ungleichung lösen
Bei $x^2 + 2x + 1 < 9$ handelt es sich um eine quadratische Ungleichung.
Quadratische Gleichung lösen
$$ \begin{align*} x^2 + 2x + 1 &< 9 &&{\color{gray}|\, -9} \\[5px] x^2 + 2x - 8 &< 0 \end{align*} $$
Die Lösungen der quadratischen Gleichung $x^2 + 2x - 8 = 0$ sind:$x_1 = -4$ und $x_2 = 2$
Potenzielle Lösungsintervalle aufstellen
Die möglichen Lösungsintervalle der quadratischen Ungleichung $x^2 + 2x - 8 < 0$ sind:
$\mathbb{L}_1 = ]-\infty;-4[$, $\mathbb{L}_2 = ]-4;2[$ und $\mathbb{L}_3 = ]2;\infty[$
Überprüfen, welche Lösungsintervalle zur Lösung gehören
Durch Einsetzen von Werten überprüfen wir, welche Intervalle zur Lösung gehören.
Aus dem 1. Intervall $\mathbb{L}_1 = ]-\infty;-4[$ setzen wir ${\color{maroon}-5}$ in die Ungleichung ein:
$$ x^2 + 2x - 8 < 0 $$
$$ ({\color{maroon}-5})^2 + 2 \cdot ({\color{maroon}-5}) - 8 < 0 \qquad \rightarrow 7 < 0 \quad{\color{red}\times} $$
Aus dem 2. Intervall $\mathbb{L}_2 = ]-4;2[$ setzen wir ${\color{maroon}0}$ in die Ungleichung ein:
$$ x^2 + 2x - 8 < 0 $$
$$ {\color{maroon}0}^2 + 2 \cdot {\color{maroon}0} - 8 < 0 \qquad \rightarrow -8 < 0 \quad{\color{green}\checkmark} $$
Aus dem 3. Intervall $\mathbb{L}_3 = ]2;\infty[$ setzen wir ${\color{maroon}3}$ in die Ungleichung ein:
$$ x^2 + 2x - 8 < 0 $$
$$ {\color{maroon}3}^2 + 2 \cdot {\color{maroon}3} - 8 < 0 \qquad \rightarrow 7 < 0 \quad{\color{red}\times} $$
Zusammenfassung
Die quadratische Ungleichung $x^2 + 2x - 8 < 0$ ist nur für $-4 < x < 2$ erfüllt.
$$ \Rightarrow \mathbb{L} = \; ]-4;2[ $$
Betragsungleichung graphisch lösen
Die Betragsungleichung $|x + 1| < 3$, die wir im obigen Abschnitt rechnerisch gelöst haben, können wir auch graphisch lösen. Dazu interpretieren wir die linke und die rechte Seite der Gleichung als Funktionen. Deren Funktionsgraphen zeichnen wir in ein Koordinatensystem.
Die Schnittpunkte der beiden Graphen sind die Intervallgrenzen des Lösungsintervalls.
Zunächst zeichnen wir die linke Seite der Ungleichung ohne Betragsstriche ein.
$f(x) = x+1$ ist eine lineare Funktion.
Den Graphen der Betragsfunktion $|f(x)| = |x+1|$ erhält man, indem man alles, was unterhalb der $x$-Achse liegt (gestrichelte Linie) an der $x$-Achse spiegelt.
Bei der rechten Seite der Ungleichung ($g(x) = 3$) handelt es sich um eine konstante Funktion. Diese wurde in rot eingezeichnet.
Da die Betragsungleichung $|x + 1| < 3$ lautet, ist für das Lösungsintervall alles, was größer $3$ ist, irrelevant (gestrichelte Linie).
Das Lösungsintervall lautet dementsprechend $\mathbb{L} = ]-4;2[$
Anmerkung
Hätte man es mit der Ungleichung $|x + 1| \leq 3$ (Kleinergleich- statt Kleinerzeichnen) zu tun, wäre das Lösungsintervall $\mathbb{L} = [-4;2]$. Die Randlösungen wären also in der Lösungsmenge enthalten.
Betragsungleichungen mit mehreren Beträgen
$$ |x+3| + |x+4| - 9 < 0 $$
Es handelt es sich um eine Betragsungleichung mit zwei Beträgen.
Wir lösen die Ungleichung durch Fallunterscheidung.
Betrag durch Fallunterscheidung auflösen
Zunächst lösen wir den ersten Betrag auf:
$$ \begin{equation*} |x+3| + |x+4| - 9 = \begin{cases} x+3 + |x+4| - 9 &\text{für } {\color{green}x + 3 \geq 0} \\[5px] -(x+3) + |x+4| - 9 &\text{für } {\color{red}x + 3 < 0} \end{cases} \end{equation*} $$
Im Folgenden lösen wir die beiden Bedingungen nach $x$ auf, um zu berechnen,
für welches $x$ der Term im Betrag größer oder gleich Null bzw. kleiner Null ist:
$$ \begin{equation*} |x+3| + |x+4| - 9 = \begin{cases} {\color{green}x+3 + |x+4| - 9} &\text{für } {\color{green}x \geq -3}\quad {\color{orange}\text{Fall 1}} \\[5px] {\color{red}-(x+3) + |x+4| - 9} &\text{für } {\color{red}x < -3\quad} {\color{orange}\text{Fall 2}} \end{cases} \end{equation*} $$
Da noch ein Betrag übrig ist, müssen wir beide Fälle noch einmal unterteilen:
$$ {\color{orange}\text{Fall 1}} $$
$$ \begin{equation*} {\color{green}x+3 + |x+4| - 9} = \begin{cases} x+3 + x+4 - 9 &\text{für } {\color{green}x+4 \geq 0} \\[5px] x+3 -(x+4) - 9 &\text{für } {\color{red}x+4 < 0} \end{cases} \end{equation*} $$
Wir lösen die Bedingungen nach $x$ auf
$$ \begin{equation*} {\color{green}x+3 + |x+4| - 9} = \begin{cases} x+3 + x+4 - 9 &\text{für } {\color{green}x \geq -4}\quad {\color{#ff8000}\text{Fall 1a}} \\[5px] x+3 -(x+4) - 9 &\text{für } {\color{red}x < -4}\quad {\color{#ff8000}\text{Fall 1b}} \end{cases} \end{equation*} $$
$$ {\color{orange}\text{Fall 2}} $$
$$ \begin{equation*} {\color{red}-(x+3) + |x+4| - 9} = \begin{cases} -(x+3) + x+4 - 9 &\text{für } {\color{green}x+4 \geq 0} \\[5px] -(x+3) -(x+4) - 9 &\text{für } {\color{red}x+4 < 0} \end{cases} \end{equation*} $$
Wir lösen die Bedingungen nach $x$ auf
$$ \begin{equation*} {\color{red}-(x+3) + |x+4| - 9} = \begin{cases} -(x+3) + x+4 - 9 &\text{für } {\color{green}x \geq -4}\quad {\color{#ff8000}\text{Fall 2a}} \\[5px] -(x+3) -(x+4) - 9 &\text{für } {\color{red}x < -4}\quad {\color{#ff8000}\text{Fall 2b}} \end{cases} \end{equation*} $$
Lösungsmengen der einzelnen Fälle bestimmen
$$ {\color{#ff8000}\text{Fall 1a}} $$
Für ${\color{green}x \geq -3}$ (Fall 1) und ${\color{green}x \geq -4}$ (Fall 1a) gilt:
$$ \begin{align*} x+3 + x+4 - 9 &< 0 \\[5px] 2x - 2 &< 0 &&{\color{gray}|\, +2} \\[5px] 2x &< 2 &&{\color{gray}|\, :2} \\[5px] x &< 1 \end{align*} $$
Das Lösungsintervall $\mathbb{L}_{1a}$ muss folgende Bedingungen erfüllen
$x \geq -3$(Fall 1)$x \geq -4$(Fall 1a)$x < 1$(Lösung Fall 1a)
$$ \Rightarrow \mathbb{L}_{1a} = [-3;1[ $$
$$ {\color{#ff8000}\text{Fall 1b}} $$
Für ${\color{green}x \geq -3}$ (Fall 1) und ${\color{red}x < -4}$ (Fall 1b) gilt:
$$ \begin{align*} x+3 -(x+4) - 9 &< 0 \\[5px] x + 3 - x - 4 - 9 &< 0 \\[5px] -10 &<0 \end{align*} $$
Das Lösungsintervall $\mathbb{L}_{1b}$ muss folgende Bedingungen erfüllen
$x \geq -3$(Fall 1)$x < -4$(Fall 1b)$-10 < 0$(Lösung Fall 1b) [Muss nicht beachtet werden, da immer gültig.]
$$ \Rightarrow \mathbb{L}_{1b} = \{\} $$
$$ {\color{#ff8000}\text{Fall 2a}} $$
Für ${\color{red}x < -3}$ (Fall 2) und ${\color{green}x \geq -4}$ (Fall 2a) gilt:
$$ \begin{align*} -(x+3) + x+4 - 9 &< 0 \\[5px] -x - 3 + x + 4 - 9 &< 0 \\[5px] -8 < 0 \end{align*} $$
Das Lösungsintervall $\mathbb{L}_{2a}$ muss folgende Bedingungen erfüllen
$x < -3$(Fall 2)$x \geq -4$(Fall 2a)$-8 < 0$(Lösung Fall 2a) [Muss nicht beachtet werden, da immer gültig.]
$$ \Rightarrow \mathbb{L}_{2a} = [-4;-3[ $$
$$ {\color{#ff8000}\text{Fall 2b}} $$
Für ${\color{red}x < -3}$ (Fall 1) und ${\color{red}x < -4}$ (Fall 2b) gilt:
$$ \begin{align*} -(x+3) -(x+4) - 9 &< 0 \\[5px] -x - 3 -x - 4 - 9 &< 0 \\[5px] -2x - 16 &< 0 &&{\color{gray}|\, +16} \\[5px] -2x &< 16 &&{\color{gray}|\, :(-2)} \\[5px] x &> -8 \end{align*} $$
Das Lösungsintervall $\mathbb{L}_{2b}$ muss folgende Bedingungen erfüllen
$x < -3$(Fall 2)$x < -4$(Fall 2b)$x > -8$(Lösung Fall 2b)
$$ \Rightarrow \mathbb{L}_{2b} = \; ]-8;-4[ $$
Lösungsmenge der Betragsungleichung bestimmen
$$ \begin{align*} \mathbb{L} &= \mathbb{L}_{1a} \; \cup \; \mathbb{L}_{1b} \; \cup \; \mathbb{L}_{2a} \; \cup \; \mathbb{L}_{2b} \\[5px] &= [-3;1[ \;\cup\; \{\} \cup [-4;-3[ \;\cup\; ]-8;-4[ \\[5px] &= \; ]-8;-4[ \;\cup\; [-4;-3[ \;\cup\; [-3;1[ \\[5px] &= \; ]-8;1[ \end{align*} $$
$$ |x-1|<|x-3| $$
Es handelt es sich um eine Betragsungleichung mit zwei Beträgen.
In diesem Fall ist es einfacher, die Ungleichung zu quadrieren:
Betragsungleichung quadrieren
$$ \begin{align*} |x-1| &< |x-3| &&{\color{gray}| \phantom{x}^2} \\[5px] |x-1|^2 &< |x-3|^2 \\[5px] x^2 - 2x + 1 &< x^2 - 6x + 9 \end{align*} $$
Ungleichung lösen
$$ \begin{align*} x^2 - 2x + 1 &< x^2 - 6x + 9 &&{\color{gray}|\, -x^2+6x-9} \\[5px] 4x - 8 &< 0 \end{align*} $$
Bei $4x - 8 < 0$ handelt es sich um eine lineare Ungleichung.
$$ \begin{align*} 4x - 8 &< 0 &&{\color{gray}|\, +8} \\[5px] 4x &< 8 &&{\color{gray}|\, :4} \\[5px] x &< 2 \end{align*} $$
$$ \Rightarrow \mathbb{L} = \; ]-\infty;2[ $$
