Abstand Punkt-Gerade

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Abstand Punkt-Gerade.

Mit Abstand ist hier die kürzeste Strecke zwischen Punkt und Gerade gemeint.

Folgende Themen werden vorausgesetzt

Abstand Punkt-Gerade mit Hilfsebene

Die Idee hinter diesem Verfahren ist folgende:

  • Gleichung einer Hilfsebene E aufstellen, die senkrecht auf g steht und durch den Punkt P verläuft
  • Schnittpunkt S der Geraden mit der Hilfsebene berechnen
  • Der Abstand des Punktes P von der Geraden g ist gleich der Entfernung der Punkte P und S

Vorgehensweise

  1. Ebene in Normalenform aufstellen
    \(\rightarrow\) als Normalenvektor dient der Richtungsvektor der Geraden g
    \(\rightarrow\) als Aufpunkt dient der Punkt P
  2. Normalenform in Koordinatenform umwandeln
  3. Gerade g in die umgeformte Ebenengleichung einsetzen
  4. \(\lambda\) berechnen
  5. \(\lambda\) in die Geradengleichung einsetzen (ergibt Schnittpunkt S)
  6. Verbindungsvektor \(\vec{SP}\) des Schnittpunktes S mit dem Punkt P berechnen
  7. Länge des Verbindungsvektors \(|\vec{SP}|\) berechnen

Beispiel

Berechne den Abstand \(d\) des Punktes P(0|5|6) von der Geraden

\(\text{g: }\quad \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Unter Umständen ist es sinnvoll vorher zu überprüfen, ob der Punkt auf der Geraden liegt. Der Abstand wäre dann logischer 0 und man spart sich viel Rechenarbeit!

1.) Ebene in Normalenform aufstellen

Eine Ebene E ist eindeutig bestimmt durch einen Punkt (Aufpunkt) \(\vec{a}\) und einen Normalenvektor \(\vec{n}\) (steht senkrecht auf der Ebene).

Die Normalenform einer Ebene lautet allgemein:

\(\text{E: }\quad \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}]\)

In unserem Fall gilt

  • Normalenvektor \(\vec{n}\) = Richtungsvektor der Geraden g
  • Aufpunkt \(\vec{a}\) = Punkt P

\(\text{E: }\quad \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[\vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \right] \)

2.) Normalenform in Koordinatenform umwandeln

Durch Ausmultiplizieren (Skalarprodukt) gelangen wir von der Normalenform zur Koordinatenform.

Rechnung 1

\(\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = -4x_1 + x_2 + x_3\)

Rechnung 2 (Bitte das negative Vorzeichen nicht vergessen!)

\(\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[-\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}\right] = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -0 \\ -5 \\ -6 \end{pmatrix} =-4 \cdot (-0) + 1 \cdot (-5) + 1\cdot (-6) = -11\)

Zusammenfassung (= Ebenengleichung in Koordinatenform)

\(-4x_1 + x_2 + x_3 - 11 = 0\)

3.) Gerade g in umgeformte Ebenengleichung einsetzen

\(-4(2-4\lambda) + (\lambda) + (1 + \lambda) - 11 = 0\)

4.) \(\lambda\) berechnen

\(-8 + 16\lambda + \lambda + 1 + \lambda - 11 = 0\)

\(-18 + 18\lambda = 0\)

\(18\lambda = 18\)

\(\lambda = 1\)

5.) \(\lambda\) in Geradengleichung einsetzen

Wir setzen \(\lambda = 1\) in die Geradengleichung ein

\(\text{g: }\quad \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

um den Schnittpunkt S der Ebene E mit der Geraden g zu berechnen:

\(\vec{s} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

\(\vec{s} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\)

6.) Verbindungsvektor \(\vec{SP}\) des Schnittpunktes S mit dem Punkt P berechnen

\(\vec{SP} = \vec{p} - \vec{s} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} \)

7.) Länge des Verbindungsvektors \(|\vec{SP}|\) berechnen

\(|\vec{SP}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{36} = 6\)

Antwort: Der kürzeste Abstand zwischen dem Punkt P und der Geraden g beträgt 6 Längeneinheiten.

Mehr zum Thema Abstandsberechnung

Punkt  
Abstand Punkt-Punkt Abstand zwischen zwei Punkten
Gerade  
Abstand Punkt-Gerade Abstand zwischen einem Punkt und einer Gerade
Abstand Gerade-Gerade Abstand zwischen zwei Geraden
>> Abstand paralleler Geraden Abstand zweier paralleler Geraden
>> Abstand windschiefer Geraden Abstand zweier windschiefer Geraden
Ebene  
Abstand Punkt-Ebene Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!