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Bildpunkt einer Achsenspiegelung

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man den Bildpunkt einer Achsenspiegelung konstruiert.

Um die Konstruktion anzufertigen, dürfen wir neben einem Stift lediglich ein Zirkel und ein Lineal verwenden. Dabei dient das Lineal nur als "Linienzeichengerät" und nicht etwa zur Messung von Längen.

Aufgabenstellung

Gegeben ist ein Punkt P und eine Symmetrieachse a.

Gesucht ist der Bildpunkt P'. Das ist der Punkt, der sich durch eine Spiegelung von P an der Symmetrieachse a ergibt.

Ziehe einen Kreis um den Punkt P.

Die Schnittpunkte des Kreises mit der Geraden bezeichnen wir mit \(S_1\) und \(S_2\).

Ziehe einen Kreis um den Schnittpunkt \(S_1\).

Wichtig ist dabei, dass der Radius größer ist als die Hälfte der Strecke \(\overline{S_{1}S_{2}}\).

Ziehe einen Kreis um den Schnittpunkt \(S_2\) mit dem gleichen Radius wie im vorherigen Schritt.

Durch die Schnittpunkte der Kreise...

...verläuft die Senkrechte.

Ziehe einen Kreis um \(S_3\) mit einem Radius von \(\overline{S_{3}P}\).

Dort, wo dieser Kreis auf der anderen Seite der Symmetrieachse die Senkrechte schneidet, liegt der Bildpunkt P'.

Zusammenfassung

  1. Einen Kreis um den Punkt \(P\) ziehen
  2. Einen Kreis um den Schnittpunkt \(S_1\) mit dem Radius \(r\) ziehen
  3. Einen Kreis um den Schnittpunkt \(S_2\) mit dem Radius \(r\) ziehen
  4. Eine Gerade durch die Schnittpunkte der Kreise aus Schritt 2 und 3 zeichnen
  5. Einen Kreis um den Schnittpunkt \(S_3\) mit einem Radius von \(r = \overline{S_{3}P}\)ziehen
  6. Der Bildpunkt P' ist dort, wo der Kreis aus Schritt 5 die Senkrechte (auf der anderen Seite der Symmetrieachse) schneidet

Damit sich die Kreise aus Schritt 2 und 3 schneiden, muss der Radius so gewählt werden, dass er größer ist als die Hälfte der Strecke \(\overline{S_{1}S_{2}}\). Mathematisch formuliert: \(r > 0,5 \cdot \overline{S_{1}S_{2}}\).

Wenn du bereits weißt, wie man ein Lot fällt, verkürzt sich das Verfahren zu:

  1. Ein Lot fällen (durch den Punkt \(P\) auf die Symmetrieachse \(a\))
  2. Einen Kreis um den Schnittpunkt des Lots mit der Symmetrieachse ziehen; der Radius ist dabei so groß wie der Abstand des Schnittpunktes von dem Punkt \(P\);
  3. Der Bildpunkt \(P'\) ist dort, wo der Kreis aus Schritt 2 das Lot (auf der anderen Seite der Symmetrieachse) schneidet

Übung macht den Meister...das gilt natürlich auch beim Konstruieren des Bildpunktes! ;)

Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

Im Zusammenhang mit Grundkonstruktionen gibt es einige Fragestellungen, die immer wieder vorkommen. Es lohnt sich deshalb, die nachfolgenden Kapitel nacheinander zu bearbeiten.

Grundkonstruktionen erster Stufe
Mittelsenkrechte konstruieren
Winkelhalbierende konstruieren
Grundkonstruktionen zweiter Stufe
Lot errichten
Lot fällen
Parallele durch gegebenen Punkt
Parallele in gegebenem Abstand
Achsensymmetrie
Symmetrieachse einer Achsenspiegelung konstruieren
Bildpunkt einer Achsenspiegelung konstruieren
Punktsymmetrie
Zentrum einer Punktspiegelung konstruieren
Bildpunkt einer Punktspiegelung konstruieren

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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