Permutation ohne Wiederholung

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Permutation ohne Wiederholung.

Es lohnt sich, zunächst den Einführungsartikel zur Kombinatorik durchzulesen.

Eine Permutation ohne Wiederholung ist eine Anordnung von \(n\) Objekten, die alle unterscheidbar sind.

\(n!\)

(sprich: n Fakultät)

Herleitung der Formel

Wir haben \(n\) unterscheidbare Objekte, die wir auf \(n\) Plätze in einer Reihe nebeneinander anordnen wollen.

Für das erste Objekt gibt es \(n\) Platzierungsmöglichkeiten. Für das zweite Objekt verbleiben (n-1) Möglichkeiten, für das dritte Objekt (n-2)....und für das letzte Objekt verbleibt nur noch eine Möglichkeit.

In mathematischer Schreibweise sieht das folgendermaßen aus:

\(n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \text{...} \cdot 1 = n!\)

Abkürzend kann man also für eine Permutation ohne Wiederholung \(n!\) schreiben. Dieser Ausdruck heißt "Fakultät".

Fakultät - Rechenregeln

\(0! = 1\)

\(1! = 1\)

Spezialfall: Anordnung in einem Kreis

Wir wissen bereits, dass es \(n!\) Möglichkeiten gibt, \(n\) verschiedene Objekte in einer "offenen" Linie anzuordnen.

Ordnet man die Objekte jedoch in einer "geschlossenen" Linie (Kreis) an, so gibt es nur \((n-1)!\) Möglichkeiten.

Permutation ohne Wiederholung - Beispiele

Aufgabe 1

In einer Urne befinden sich fünf verschiedenfarbige Kugeln. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Kugeln in einer Reihe anzuordnen?

Lösung zur Aufgabe 1

\(5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\)

Antwort: Es gibt 120 Möglichkeiten fünf verschiedenfarbige Kugeln in einer Reihe anzuordnen.

Aufgabe 2

In einer Urne befinden sich fünf verschiedenfarbige Kugeln. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Kugeln in einem Kreis anzuordnen?

Lösung zur Aufgabe 2

\((5-1)! = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\)

Antwort: Es gibt 24 Möglichkeiten fünf verschiedenfarbige Kugeln in einem Kreis anzuordnen.

Aufgabe 3

Fünf Damen und fünf Herren passieren nacheinander eine Drehtür.

a) Auf wie viele Arten können sie dies?

b) Wie viele Möglichkeiten verbleiben, wenn die fünf Damen den Vortritt haben?

Lösung zur Aufgabe 3

a) \(10! = 3.628.800\)

b) \(5! \cdot 5! = 14.400\)

Die Lösung zur Teilaufgabe b) basiert auf der Produktregel der Kombinatorik, welche im vorhergehenden Kapitel ausführlich erklärt ist.

Mehr zur abzählenden Kombinatorik

Die Permutation ohne Wiederholung gehört zur abzählenden Kombinatorik. Dabei handelt es sich um den Teilbereich der Kombinatorik, der sich mit der Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen (Permutationen) oder Auswahlen (Variationen, Kombinationen) beschäftigt.

   

Menge

Reihenfolge

Permutation ohne Wiederholung \(n!\) \(n\) aus \(n\) wird beachtet
Permutation mit Wiederholung \(\frac{n!}{k_1! \cdot  k_2! \cdot \text{...} \cdot k_s!}\) \(n\) aus \(n\) wird beachtet
Variation ohne Wiederholung \(\frac{n!}{(n-k)!}\) \(k\) aus \(n\) wird beachtet
Variation mit Wiederholung \(n^k\) \(k\) aus \(n\) wird beachtet
Kombination ohne Wiederholung \({n \choose k}\) \(k\) aus \(n\) wird nicht beachtet
Kombination mit Wiederholung \({n+k-1 \choose k}\) \(k\) aus \(n\) wird nicht beachtet

Sind die Objekte untereinander unterscheidbar, so spricht man von einer Permutation/Variation/Kombination "ohne Wiederholung" (derselben Objekte). Falls die Objekte jedoch nicht unterscheidbar sind, spricht man von einer Permutation/Variation/Kombination "mit Wiederholung". Im Urnenmodell sagt man statt "ohne Wiederholung" einfach "ohne Zurücklegen" und zu "mit Wiederholung" entsprechend "mit Zurücklegen".

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!