Allgemeines Zählprinzip

In diesem Kapitel schauen wir uns das allgemeine Zählprinzip näher an. Häufig spricht man auch von der "Produktregel der Kombinatorik".

Wir beginnen mit einem kleinen Beispiel.

Beispiel

Markus besitzt 3 Paar Schuhe, 2 Hosen und 4 T-Shirts. Wie oft muss er sich anziehen, wenn er alle Kombinationsmöglichkeiten ausprobieren will?

Lösung

Zu jedem seiner 3 Paar Schuhe hat er 2 Möglichkeiten, eine Hose hinzuzufügen.

Damit gibt es \(3 \cdot 2 = 6\) Schuhe-Hose-Kombinationen.

Zu jeder dieser 6 Möglichkeiten hat er 4 verschiedene T-Shirts zur Auswahl:

Damit gibt es insgesamt \(3 \cdot 2 \cdot 4 = 24\) Schuhe-Hose-T-Shirt-Kombinationen.

Produktregel der Kombinatorik - Video

In diesem Mathe Video (5:51 min) wird dir das allgemeine Zählprinzip anhand zahlreicher Beispiele ausführlich erläutert.

Allgemein

Gegegeben seinen k Mengen \(M_1, M_2,\text{...}, M_k\), die jeweils \(n_1, n_2,\text{...}, n_k\) Elemente enthalten, dann lassen sich

\(n_1 \cdot n_2 \cdot \text{...} \cdot n_k\)

verschiedene "k-Tupel" (\(x_1,x_2,\text{...},x_k)\) zusammenstellen.

...doch was ist eigentlich ein k-Tupel?

Unter einem k-Tupel versteht man eine Aufzählung von \(k\) nicht notwendig voneinander verschiedenen mathematischen Objekten in einer vorgegebenen, festen Reihenfolge aus einer n-Menge.

Gehen wir zurück zu unserem Schuhe-Hose-T-Shirt-Beispiel: Die n-Menge sind die 24 verschiedenen Schuhe-Hose-T-Shirt-Kombinationen, die wir berechnet haben. Eine Kombination - z.B. (Schuh 2, Hose 1, T-Shirt 3) - ist dann ein k-Tupel. Dieser Tupel besteht aus dem zweiten Paar Schuhen, der ersten Hose und dem dritten T-Shirt. Ein anderer Tupel wäre (Schuh 3, Hose 2, T-Shirt 2).

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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