Bruch in Dezimalzahl
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Thema Bruch in Dezimalzahl umwandeln
.
Brüche mit Zehnerpotenz im Nenner
Brüche mit einer Zehnerpotenz (10, 100, 1000, …) im Nenner, sog. Dezimalbrüche, lassen sich sehr einfach in Dezimalzahlen umwandeln:
Die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchs entspricht der Anzahl der Nachkommastellen der Dezimalzahl.
$$ \frac{2789}{1\underbrace{0}_{\text{1 Null}}} = 278{,}\underbrace{9}_{\text{1 Stelle}} $$
$$ \frac{2789}{1\underbrace{00}_{\text{2 Nullen}}} = 27{,}\underbrace{89}_{\text{2 Stellen}} $$
$$ \frac{2789}{1\underbrace{000}_{\text{3 Nullen}}} = 2{,}\underbrace{789}_{\text{3 Stellen}} $$
Wenn der Zähler genauso viele Stellen hat wie der Nenner Nullen, muss man vor das Komma eine Null schreiben.
$$ \frac{2789}{1\underbrace{0000}_{\text{4 Nullen}}} = {\color{red}0}{,}\underbrace{2789}_{\text{4 Stellen}} $$
Wenn der Zähler weniger Stellen hat als der Nenner Nullen, müssen für fehlende Stellen entsprechend Nullen zwischen dem Komma und der Ziffer eingefügt werden. (Auch in diesem Fall schreibt man vor das Komma wieder eine Null.)
$$ \frac{2789}{1\underbrace{00000}_{\text{5 Nullen}}} = {\color{red}0}{,}\underbrace{{\color{maroon}0}2789}_{\text{5 Stellen}} $$
$$ \frac{2789}{1\underbrace{000000}_{\text{6 Nullen}}} = {\color{red}0}{,}\underbrace{{\color{maroon}00}2789}_{\text{6 Stellen}} $$
Wenn das Thema neu für dich ist, lohnt es sich systematisch vorzugehen:
Nullen im Nenner zählen
Platzhalter zeichnen
Zähler rechtsbündig in Platzhalter eintragen
Leere Felder, sofern vorhanden, mit Nullen auffüllen
zu 2)
Nach dem Zählen der Nullen (Schritt 1) haben wir bereits eine Vorstellung davon, wie die Dezimalzahl aussehen muss. Grund dafür ist, dass die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchs der Anzahl der Nachkommastellen der Dezimalzahl entspricht. Haben wir zum Beispiel 3 Nullen gezählt, sieht die Dezimalzahl so aus: $\underline{\phantom{0}}{,}\underbrace{\underline{\phantom{0}}\underline{\phantom{1}}\underline{\phantom{4}}}_{\text{3 Stellen}}$.
In Schritt 3 und 4 werden die Stellen des Platzhalters mit Zahlen befüllt.
Wandle den Bruch $\frac{14}{1000}$ in eine Dezimalzahl um.
Nullen im Nenner zählen
$$ \frac{{\color{green}14}}{1\underbrace{000}_{\text{3 Nullen}}} $$
Platzhalter zeichnen
$$ \phantom{\frac{14}{1\underbrace{000}_{\text{3 Nullen}}}} = \underline{\phantom{0}}{,}\underbrace{\underline{\phantom{0}}\underline{\phantom{1}}\underline{\phantom{4}}}_{\text{3 Stellen}} $$
Zähler rechtsbündig in Platzhalter eintragen
$$ \phantom{\frac{{\color{green}14}}{1\underbrace{000}_{\text{3 Nullen}}}} = \underline{\phantom{0}}{,}\underbrace{\underline{\phantom{0}}\underline{{\color{green}1}}\underline{{\color{green}4}}}_{\text{3 Stellen}} $$
Leere Felder, sofern vorhanden, mit Nullen auffüllen
$$ \phantom{\frac{14}{1\underbrace{000}_{\text{3 Nullen}}}} = \underline{{\color{red}0}}{,}\underbrace{\underline{{\color{maroon}0}}\underline{1}\underline{4}}_{\text{3 Stellen}} $$
$$ \Rightarrow\frac{14}{1000} = 0{,}014 $$
Wandle den Bruch $\frac{1414}{100}$ in eine Dezimalzahl um.
Nullen im Nenner zählen
$$ \frac{1414}{1\underbrace{00}_{\text{2 Nullen}}} $$
Platzhalter zeichnen
$$ \phantom{\frac{1414}{1\underbrace{00}_{\text{2 Nullen}}}} = \underline{\phantom{14}}{,}\underbrace{\underline{\phantom{1}}\underline{\phantom{4}}}_{\text{2 Stellen}} $$
Zähler rechtsbündig in Platzhalter eintragen
$$ \phantom{\frac{{\color{green}1414}}{1\underbrace{00}_{\text{2 Nullen}}}} = \underline{{\color{green}14}}{,}\underbrace{\underline{{\color{green}1}}\underline{{\color{green}4}}}_{\text{2 Stellen}} $$
Leere Felder, sofern vorhanden, mit Nullen auffüllen
In diesem Fall gibt es keine leeren Felder.
$$ \Rightarrow\frac{1414}{100} = 14{,}14 $$
Sonderfälle
a) Die letzten Stellen des Zählers sind Null
Falls beim Zähler die letzten Stellenwerte Null sind, werden diese Nullen als Nachkommastellen weggelassen. (Entspricht dem Kürzen mit einer Zehnerpotenz.)
b) Im Zähler und Nenner steht dieselbe Zahl
Umwandeln durch Erweitern
Erforderliches Vorwissen
Manche Brüche lassen sich so erweitern, dass eine Zehnerpotenz im Nenner steht. Anschließend kann man die Brüche, wie im vorherigen Abschnitt erklärt, in Dezimalzahlen umwandeln.
Zu diesen Brüchen gehören zum Beispiel Brüche, die 2, 4, 5, 8, 20, 25, 125 oder ein Vielfaches von 10 im Nenner haben.
$$ \frac{9}{20} = \frac{9 \cdot {\color{red}5}}{20 \cdot {\color{red}5}} = \frac{45}{100} = 0{,}45 $$
Falls möglich, sollte man den Bruch zunächst vollständig kürzen. Manchmal kann man sich dann ein Erweitern sogar sparen.
$$ \frac{24}{80} = \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 3}{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 2 \cdot 5} = \frac{3}{10} = 0{,}3 $$
$$ \frac{3}{150} = \frac{\cancel{3}}{2 \cdot \cancel{3} \cdot 5 \cdot 5} = \frac{1}{50} = \frac{1 \cdot {\color{red}2}}{50 \cdot {\color{red}2}} = \frac{2}{100} = 0{,}02 $$
Umwandeln durch schriftliche Division
Erforderliches Vorwissen
Der Bruchstrich bedeutet nichts anderes als geteilt durch
. Deshalb können wir auch einfach den Zähler durch den Nenner dividieren. Als Ergebnis erhalten wir die gesuchte Dezimalzahl.
Wandle den Bruch $\frac{3}{4}$ in eine Dezimalzahl um.
Aufgabe abschreiben
$$ \begin{array}{ccccc} 3 & & & :4 & = \end{array} $$
Erste Division
Schritt 1 von 4
Im ersten Rechenschritt betrachten wir ausschließlich die erste Zahl des Dividenden und fragen uns:
Wie oft passt die ${\color{blue}4}$ in die ${\color{blue}3}$? Die Antwort lautet: $0$ Mal.
Da die $4$ kein Mal in die $3$ passt, erweitern wir die Betrachtung. Dazu schreiben wir eine ${\color{red}0}$ neben die $3$.
Auf die rechte Seite des Gleichheitszeichens schreiben wir ebenfalls eine ${\color{red}0}$ – allerdings mit einem Komma.
Wir fragen uns:
Wie oft passt die ${\color{blue}4}$ in die ${\color{blue}30}$? Die Antwort lautet: ${\color{red}7}$ Mal.
Diese Zahl notieren wir rechts vom Gleichheitszeichen.
1. Versuch
$$ \begin{array}{ccccc} {\color{blue}3} & & & :{\color{blue}4} & = \end{array} $$
Null ergänzen
$$ \begin{array}{ccccc} 3 & {\color{red}0} & & :4 & = {\color{red}0}, \end{array} $$
2. Versuch
$$ \begin{array}{ccccc} {\color{blue}3} & {\color{blue}0} & & :{\color{blue}4} & = 0,{\color{red}7} \end{array} $$
Schritt 2 von 4
Jetzt überprüfen wir, ob bei dieser Division ein Rest vorhanden ist.
Dazu rechnen wir zunächst: ${\color{blue}7} \cdot {\color{blue}4}={\color{red}28}$
Die ${\color{red}28}$ schreiben wir unter die waagrechte Linie.
$$ \begin{array}{ccccc} 3 & 0 & & :{\color{blue}4} & =0,{\color{blue}7} \\ \hline {\color{red}2} & {\color{red}8} & & & \end{array}$$
Schritt 3 von 4
Jetzt ziehen wir von den ersten beiden Zahlen des Dividenden die eben berechnete Zahl ab.
Es gilt: ${\color{blue}30}−{\color{blue}28}={\color{red}2}$
Die ${\color{red}2}$ entspricht dem Rest der ersten Division.
$$ \begin{array}{ccccc} {\color{blue}3} & {\color{blue}0} & & :4 & = 0{,}7 \\ \hline {\color{blue}2} & {\color{blue}8} & & & \\ & - & & & \\ & {\color{red}2} & & & \end{array} $$
Schritt 4 von 4
Da der Dividend keine weiteren Stellen hat, entfällt dieser Schritt.
Zweite Division
Schritt 1 von 4
Wie oft passt die ${\color{blue}4}$ in die ${\color{blue}2}$? Die Antwort lautet: $0$ Mal.
Wir schreiben neben die $2$ eine $0$ und fragen uns:
Wie oft passt die ${\color{blue}4}$ in die ${\color{blue}20}$? Die Antwort lautet: ${\color{red}5}$ Mal.
Diese Zahl notieren wir rechts vom Gleichheitszeichen.
1. Versuch
$$ \begin{array}{ccccc} 3 & 0 & & :{\color{blue}4} & = 0{,}7 \\ \hline 2 & 8 & & & \\ & - & & & \\ & {\color{blue}2} & & & \end{array} $$
2. Versuch
$$ \begin{array}{ccccc} 3 & 0 & & :{\color{blue}4} & = 0{,}7{\color{red}5} \\ \hline 2 & 8 & & & \\ & - & & & \\ & {\color{blue}2} & {\color{blue}0} & & \end{array} $$
Schritt 2 von 4
Jetzt überprüfen wir wieder, ob ein Rest vorhanden ist.
Dazu rechnen wir zunächst: ${\color{blue}5}\cdot{\color{blue}4}={\color{red}20}$
Die ${\color{red}20}$ schreiben wir in eine neue Zeile in der Spalte der zweiten Zahl des Dividenden.
$$ \begin{array}{ccccc} 3 & 0 & & :{\color{blue}4} & = 0{,}7{\color{blue}5} \\ \hline 2 & 8 & & & \\ & - & & & \\ & 2 & 0 & & \\ & {\color{red}2} & {\color{red}0} & & \end{array} $$
Schritt 3 von 4
Wir rechnen: ${\color{blue}20}-{\color{blue}20}={\color{red}0}$
Die ${\color{red}0}$ sagt uns, dass bei dieser Division kein Rest vorhanden ist.
$$ \begin{array}{ccccc} 3 & 0 & & :4 & = 0{,}75\\ \hline 2 & 8 & & & \\ & - & & & \\ & {\color{blue}2} & {\color{blue}0} & & \\ & {\color{blue}2} & {\color{blue}0} & & \\ & & - & & \\ & & {\color{red}0} & & \end{array} $$
Schritt 4 von 4
Da der Rest gleich Null ist, entfällt dieser Schritt.
Die Rechnung ist somit beendet.
Ergebnis ablesen
Die Zahl rechts neben dem Gleichheitszeichen entspricht dem Ergebnis der Division.
$$ \begin{array}{ccccc} 3 & 0 & & :4 & = {\color{red}0{,}75} \\ \hline 2 & 8 & & & \\ & - & & & \\ & 2 & 0 & & \\ & 2 & 0 & & \\ & & - & & \\ & & 0 & & \end{array} $$
Umwandeln durch Auswendiglernen
Im Folgenden findest du zwei Tabellen mit Brüchen und zugehörigen Dezimalzahlen, die man auswendig wissen sollte. Auf diese Weise kann man Aufgaben schneller lösen!
Brüche, die zu endlichen Dezimalzahlen führen
| Bruch | $\frac{3}{4}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{5}$ | $\frac{1}{8}$ | $\frac{1}{10}$ |
| Dezimalzahl | $0{,}75$ | $0{,}5$ | $0{,}25$ | $0{,}2$ | $0{,}125$ | $0{,}1$ |
Brüche, die zu periodischen Dezimalzahlen führen
| Bruch | $\frac{2}{3}$ | $\frac{4}{9}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{2}{9}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{9}$ |
| Dezimalzahl | $0{,}\overline{6}$ | $0{,}\overline{4}$ | $0{,}\overline{3}$ | $0{,}\overline{2}$ | $0{,}1\overline{6}$ | $0{,}\overline{1}$ |
In den folgenden Beispielen versuchen wir die gegebenen Brüche so zu zerlegen, dass wir bekannte – also auswendiggelernte – Brüche erhalten, die wir anschließend ohne weiteres Rechnen in Dezimalzahlen umwandeln können.
$$ \frac{8}{3} = \frac{6}{3} + \frac{2}{3} = 2 + {\color{red}\frac{2}{3}} = 2 + {\color{red}0{,}\overline{6}} = 2{,}\overline{6} $$
$$ \frac{8}{9} = 8 \cdot {\color{red}\frac{1}{9}} = 8 \cdot {\color{red}0{,}\overline{1}} = 0{,}\overline{8} $$
$$ \frac{5}{18} = \frac{3}{18} + \frac{2}{18} = {\color{red}\frac{1}{6}} + {\color{red}\frac{1}{9}} = {\color{red}0{,}1\overline{6}} + {\color{red}0{,}\overline{1}} = 0{,}2\overline{7} $$
An Stelle von $0{,}\overline{1}$ könnte man auch $0{,}1\overline{1}$ schreiben.
Dann sieht man besser, dass gilt: $0{,}1\overline{6} + 0{,}1\overline{1} = 0{,}2\overline{7}$.
