Flächeninhalt: Sehnenviereck
In diesem Kapitel lernen wir, den Flächeninhalt eines Sehnenvierecks zu berechnen.
Ein Sehnenviereck
ist eine geometrische Figur, genauer gesagt ein Viereck, mit speziellen Eigenschaften und Flächeninhalt
ist der Fachbegriff für die Größe einer Fläche.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Im Sehnenviereck sind alle vier Seiten Sehnen eines Kreises.
Formel
$$ A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} $$
mit $s = \frac{1}{2}(a+b+c+d)$ (Halber Umfang)
Die Seiten $a$, $b$, $c$ und $d$ sind Längen in jeweils derselben Maßeinheit.
Falls die Längen nicht in derselben Maßeinheit vorliegen, müssen wir umrechnen.
$A$ steht für den Flächeninhalt.
| Längeneinheiten | Flächeneinheiten |
|---|---|
$\textrm{mm}$ Millimeter | $\textrm{mm}^2$ Quadratmillimeter |
$\textrm{cm}$ Zentimeter | $\textrm{cm}^2$ Quadratzentimeter |
$\textrm{dm}$ Dezimeter | $\textrm{dm}^2$ Quadratdezimeter |
$\textrm{m}$ Meter | $\textrm{m}^2$ Quadratmeter |
$\textrm{km}$ Kilometer | $\textrm{km}^2$ Quadratkilometer |
Anleitung
$\boldsymbol{s}$ berechnen
Formel aufschreiben
Werte für $a$, $b$, $c$ und $d$ einsetzen
Ergebnis berechnen
$\boldsymbol{A}$ berechnen
Formel aufschreiben
Werte für $s$, $a$, $b$, $c$ und $d$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Achte beim Ergebnis auf die Einheit! Eine $4{,}9\ \textrm{cm}$ große Fläche gibt es nicht!
Beispiel
Wie groß ist der Flächeninhalt eines Sehnenvierecks mit $a = 1\ \textrm{cm}$, $b = 2\ \textrm{cm}$, $c = 3\ \textrm{cm}$ und $d = 4\ \textrm{cm}$?
$\boldsymbol{s}$ berechnen
Formel aufschreiben
$$ s = \frac{1}{2}(a+b+c+d) $$
Werte für $a$, $b$, $c$ und $d$ einsetzen
$$ \phantom{s} = \frac{1}{2}(1\ \textrm{cm}+2\ \textrm{cm}+3\ \textrm{cm}+4\ \textrm{cm}) $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{s} &= \frac{1}{2}(1\ \textrm{cm}+2\ \textrm{cm}+3\ \textrm{cm}+4\ \textrm{cm}) \\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot 10\ \textrm{cm} \\[5px] &= 5\ \textrm{cm} \end{align*} $$
$\boldsymbol{A}$ berechnen
Formel aufschreiben
$$ A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} $$
Werte für $s$, $a$, $b$, $c$ und $d$ einsetzen
$$ \phantom{A} = \sqrt{(5\ \textrm{cm}-1\ \textrm{cm})(5\ \textrm{cm}-2\ \textrm{cm})(5\ \textrm{cm}-3\ \textrm{cm})(5\ \textrm{cm}-4\ \textrm{cm})} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{A} &= \sqrt{4\ \textrm{cm} \cdot 3\ \textrm{cm} \cdot 2\ \textrm{cm} \cdot 1\ \textrm{cm}} \\[5px] &= \sqrt{24\ \textrm{cm}^4} \\[5px] &= \sqrt{24} \cdot \sqrt{\textrm{cm}^4} \\[5px] &= \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3} \cdot \sqrt{\textrm{cm}^4} \\[5px] &= \sqrt{2^2 \cdot 6} \cdot \sqrt{\textrm{cm}^4} \\[5px] &= \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{\textrm{cm}^4} \\[5px] &= \pm 2\sqrt{6}\ \textrm{cm}^2 \\[5px] &\approx \pm 4{,}9\ \textrm{cm}^2 \end{align*} $$
Rein rechnerisch betrachtet kommen als Lösungen $4{,}9\ \textrm{cm}^2$ und $-4{,}9\ \textrm{cm}^2$ infrage.
Da Flächen immer positiv sind (Bedingung $A > 0$), ist $A = 4{,}9\ \textrm{cm}^2$ die einzige Lösung.
Wusstest du schon, dass $\textrm{cm}^2$ lediglich eine abkürzende Schreibweise für $\textrm{cm} \cdot \textrm{cm}$ ist? Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel zu den Potenzen!
