Umfang: Gleichschenkliges Trapez
In diesem Kapitel lernen wir, den Umfang eines gleichschenkligen Trapezes zu berechnen.
Ein gleichschenkliges Trapez
ist eine geometrische Figur, genauer gesagt ein Viereck, mit speziellen Eigenschaften und Umfang
ist der Fachbegriff für die Länge der Begrenzungslinie einer geometrischen Figur.
Erforderliches Vorwissen
Herleitung der Formel
Ein allgemeines Viereck hat vier unterschiedlich lange Seiten.
Umfangsformel$U = a + b + c + d$
Die Umfangsformel können wir vereinfachen, wenn Seiten mit gleicher Länge vorkommen. Im gleichschenkligen Trapez ist genau das der Fall, denn:
Ein gleichschenkliges Trapez hat
zwei gleich lange Schenkel.
$b = d$
Herleitung der 1. Formel
$$ \begin{align*} U &= a + b + c + {\color{red}d} &&{\color{gray}|~ d = b}\\ &= a + b + c + {\color{red}b} &&{\color{gray}|\text{ Zusammenrechnen}}\\ &= a + 2b + c \end{align*} $$
Herleitung der 2. Formel
$$ \begin{align*} U &= a + {\color{red}b} + c + d &&{\color{gray}|~ b = d}\\ &= a + {\color{red}d} + c + d &&{\color{gray}|\text{ Zusammenrechnen}}\\ &= a + c + 2d \end{align*} $$
Formel
(1) $U = a + 2b + c$
(2) $U = a + c + 2d$
Um den Umfang eines gleichschenkligen Trapezes berechnen zu können, müssen wir die Längen der beiden parallelen Seiten ($a$ und $c$) sowie die eines Schenkels ($b$ oder $d$) kennen. Unter Umständen ist ein Ausmessen erforderlich.
Eine Länge – wie $5\ \textrm{cm}$ – ist eine Größe, die aus einer Maßzahl und einer Maßeinheit besteht.
Längen können bekanntlich nur addiert werden, wenn sie in derselben Maßeinheit vorliegen. Deshalb müssen wir gegebenenfalls die Einheiten auf eine gemeinsame Einheit umrechnen.
Wichtige Maßeinheiten für Längen (Längenmaße)
- Millimeter (
$\textrm{mm}$) - Zentimeter (
$\textrm{cm}$) - Dezimeter (
$\textrm{dm}$) - Meter (
$\textrm{m}$) - Kilometer (
$\textrm{km}$)
Ein Platzhalter für eine beliebige Längeneinheit ist $\textrm{LE}$.
Anleitung
Formel aufschreiben
Werte einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiele
Wie groß ist der Umfang eines gleichschenkligen Trapezes mit den Seitenlängen $a = 4\ \textrm{cm}$, $b = 2\ \textrm{cm}$ und $c = 1\ \textrm{cm}$?
Formel aufschreiben
$$ U = a + 2b + c $$
Werte für $\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{c}$ einsetzen
$$ \phantom{U} = 4\ \textrm{cm} + 2 \cdot 2\ \textrm{cm} + 1\ \textrm{cm} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} &= 4\ \textrm{cm} + 4\ \textrm{cm} + 1\ \textrm{cm} \\[5px] &= 9\ \textrm{cm} \end{align*} $$
Wie groß ist der Umfang eines gleichschenkligen Trapezes mit den Seitenlängen $a = 6\ \textrm{m}$, $c = 3\ \textrm{m}$ und $d = 5\ \textrm{m}$?
Formel aufschreiben
$$ U = a + c + 2d $$
Werte für $\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{d}$ einsetzen
$$ \phantom{U} = 6\ \textrm{m} + 3\ \textrm{m} + 2 \cdot 5\ \textrm{m} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} &= 6\ \textrm{m} + 3\ \textrm{m} + 10\ \textrm{m} \\[5px] &= 19\ \textrm{m} \end{align*} $$
