Echter Bruch

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein echter Bruch ist.
(Alternative Bezeichnung: Eigentlicher Bruch)

In der Schule definiert man einen echten Bruch meist folgendermaßen:

Ein echter Bruch ist ein Bruch,
bei dem der Zähler kleiner ist der Nenner:

\(\text{Zähler} < \text{Nenner}\)

Beispiele

\(\frac{1}{2}\) ist ein echter Bruch, da \(1 < 2\).

\(\frac{3}{5}\) ist ein echter Bruch, da \(3 < 5\).

\(\frac{7}{9}\) ist ein echter Bruch, da \(7 < 9\).

\(\frac{11}{17}\) ist ein echter Bruch, da \(11 < 17\).

\(\frac{2}{2}\) ist ein unechter Bruch, da \(2 = 2\).

\(\frac{4}{3}\) ist ein unechter Bruch, da \(4 > 3\).

Echte Brüche veranschaulicht

\(\text{Zähler} < \text{Nenner}\)
\(\rightarrow\) weniger als eine ganze Torte (z.B. \(\frac{1}{4}\))

Anders formuliert:

Wird ein echter Bruch in eine Dezimalzahl umgewandelt,
so ist das Ergebnis immer kleiner als 1,0.

Unechte Brüche veranschaulicht

Fall 1: \(\text{Zähler} = \text{Nenner}\)
\(\rightarrow\) eine ganze Torte (z.B. \(\frac{4}{4}\))

Fall 2: \(\text{Zähler} > \text{Nenner}\)
\(\rightarrow\) mehr als eine ganze Torte (z.B. \(\frac{5}{4}\))

Anders formuliert:

Wird ein unechter Bruch in eine Dezimalzahl umgewandelt,
so ist das Ergebnis immer größer oder gleich 1,0.

Echte Brüche mit negativem Vorzeichen

\(-\frac{1}{2}\) oder \(-\frac{3}{5}\) sind selbstverständlich auch echte Brüche.
Damit das gilt, müssen wir die Definition umformulieren zu:

Ein echter Bruch ist ein Bruch,
bei dem der Betrag des Zählers kleiner ist als der des Nenners:

\(|\text{Zähler}| < |\text{Nenner}|\)

Den Betrag einer reellen Zahl erhält man durch Weglassen des Vorzeichens.
Zur Schreibweise: Der Betrag einer Zahl \(x\) wird meist mit \(|x|\) bezeichnet.

Erklärung

Aus dem Kapitel Brüche wissen wir, dass man \(-\frac{1}{2}\) auch als \(\frac{-1}{2}\) oder \(\frac{1}{-2}\) schreiben kann. Prüfen wir allerdings den Bruch \(\frac{1}{-2}\) darauf, ob er nach der schulischen Definition (Zähler < Nenner) ein echter Bruch ist, stellen wir fest: \(1 > -2\) - also \(\frac{1}{-2}\) ist kein echter Bruch. Dagegen wäre \(\frac{-1}{2}\) wegen \(-1 < 2\) ein echter Bruch. Ein Ausweg aus diesem Dilemma schafft die Definition über den Betrag, da gilt: \(\frac{|1|}{|-2|} = \frac{|-1|}{|2|} = \frac{1}{2}\) und damit \(1 < 2\), d.h. bei \(\frac{-1}{2}\) und \(\frac{1}{-2}\) handelt es sich in beiden Fällen um echte Brüche!

Beispiele

\(\frac{-3}{5}\) ist ein echter Bruch, da \(|-3| < |5|\) (d.h. \(3 < 5\)).

\(\frac{3}{-5}\) ist ein echter Bruch, da \(|3| < |-5|\) (d.h. \(3 < 5\)).

Wegen \(-\frac{3}{5} = \frac{-3}{5} = \frac{3}{-5}\) gilt:

\(-\frac{3}{5}\) ist ein echter Bruch.

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Bruchrechnung von A bis Z

In den folgenden Kapiteln findest du alles zum Thema Bruchrechnung:

Brüche \[\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\]
> Echter Bruch Zähler < Nenner
> Stammbruch Zähler = 1
> Zweigbruch Zähler > 1
> Unechter Bruch Zähler \(\geq\) Nenner
> Scheinbruch Zähler ist Vielfaches von Nenner
> Dezimalbruch Nenner = \(10^n\)
Brüche erweitern \[\frac{a}{n} = \frac{a \cdot {\color{red}p}}{n \cdot {\color{red}p}}\]
> Erweiterungszahl  
Brüche kürzen \[\frac{a\cancel{{\color{red}p}}}{n\cancel{{\color{red}p}}} = \frac{a}{n}\]
> Kürzungszahl  
Brüche gleichnamig machen  
> Gleichnamige Brüche \(=\) gleicher Nenner
> Ungleichnamige Brüche \(=\) unterschiedlicher Nenner
Kehrwert \[\frac{1}{x} \text{ bzw. } x^{-1}\]
Brüche addieren

a) Gleichnamige Brüche

\[\frac{a}{{\color{green}n}} + \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a+b}{{\color{green}n}}\]

b) Ungleichnamige Brüche

\(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen

Brüche subtrahieren

a) Gleichnamige Brüche

\[\frac{a}{{\color{green}n}} - \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a-b}{{\color{green}n}}\]

b) Ungleichnamige Brüche

\(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen
Brüche multiplizieren \[\frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} = \frac{a \cdot b}{m \cdot n}\]
Brüche dividieren \[\frac{a}{m} : \frac{b}{n} = \frac{a}{m} \cdot \frac{n}{b}\]
Doppelbruch \[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\]
Brüche vergleichen  
Gleichheit von Brüchen \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} \neq \frac{c}{d}\)
Brüche vergleichen \(\frac{a}{b} > \frac{c}{d}\), \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\)
Brüche umwandeln  
Brüche umwandeln [6 Unterkapitel!]
Bruchterme  
Bruchterme [8 Unterkapitel!]

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!