Echter Bruch

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein echter Bruch ist.
(Alternative Bezeichnung: Eigentlicher Bruch)

In der Schule definiert man einen echten Bruch meist folgendermaßen:

Ein echter Bruch ist ein Bruch,
bei dem der Zähler kleiner ist der Nenner:

\(\text{Zähler} < \text{Nenner}\)

Beispiele

\(\frac{1}{2}\) ist ein echter Bruch, da \(1 < 2\).

\(\frac{3}{5}\) ist ein echter Bruch, da \(3 < 5\).

\(\frac{7}{9}\) ist ein echter Bruch, da \(7 < 9\).

\(\frac{11}{17}\) ist ein echter Bruch, da \(11 < 17\).

\(\frac{2}{2}\) ist ein unechter Bruch, da \(2 = 2\).

\(\frac{4}{3}\) ist ein unechter Bruch, da \(4 > 3\).

Echte Brüche veranschaulicht

\(\text{Zähler} < \text{Nenner}\)
\(\rightarrow\) weniger als eine ganze Torte (z.B. \(\frac{1}{4}\))

Anders formuliert:

Wird ein echter Bruch in eine Dezimalzahl umgewandelt,
so ist das Ergebnis immer kleiner als 1,0.

Unechte Brüche veranschaulicht

Fall 1: \(\text{Zähler} = \text{Nenner}\)
\(\rightarrow\) eine ganze Torte (z.B. \(\frac{4}{4}\))

Fall 2: \(\text{Zähler} > \text{Nenner}\)
\(\rightarrow\) mehr als eine ganze Torte (z.B. \(\frac{5}{4}\))

Anders formuliert:

Wird ein unechter Bruch in eine Dezimalzahl umgewandelt,
so ist das Ergebnis immer größer oder gleich 1,0.

Echte Brüche mit negativem Vorzeichen

\(-\frac{1}{2}\) oder \(-\frac{3}{5}\) sind selbstverständlich auch echte Brüche.
Damit das gilt, müssen wir die Definition umformulieren zu:

Ein echter Bruch ist ein Bruch,
bei dem der Betrag des Zählers kleiner ist als der des Nenners:

\(|\text{Zähler}| < |\text{Nenner}|\)

Den Betrag einer reellen Zahl erhält man durch Weglassen des Vorzeichens.
Zur Schreibweise: Der Betrag einer Zahl \(x\) wird meist mit \(|x|\) bezeichnet.

Erklärung

Aus dem Kapitel Brüche wissen wir, dass man \(-\frac{1}{2}\) auch als \(\frac{-1}{2}\) oder \(\frac{1}{-2}\) schreiben kann. Prüfen wir allerdings den Bruch \(\frac{1}{-2}\) darauf, ob er nach der schulischen Definition (Zähler < Nenner) ein echter Bruch ist, stellen wir fest: \(1 > -2\) - also \(\frac{1}{-2}\) ist kein echter Bruch. Dagegen wäre \(\frac{-1}{2}\) wegen \(-1 < 2\) ein echter Bruch. Ein Ausweg aus diesem Dilemma schafft die Definition über den Betrag, da gilt: \(\frac{|1|}{|-2|} = \frac{|-1|}{|2|} = \frac{1}{2}\) und damit \(1 < 2\), d.h. bei \(\frac{-1}{2}\) und \(\frac{1}{-2}\) handelt es sich in beiden Fällen um echte Brüche!

Beispiele

\(\frac{-3}{5}\) ist ein echter Bruch, da \(|-3| < |5|\) (d.h. \(3 < 5\)).

\(\frac{3}{-5}\) ist ein echter Bruch, da \(|3| < |-5|\) (d.h. \(3 < 5\)).

Wegen \(-\frac{3}{5} = \frac{-3}{5} = \frac{3}{-5}\) gilt:

\(-\frac{3}{5}\) ist ein echter Bruch.

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Bruchrechnung von A bis Z

In den folgenden Kapiteln findest du alles zum Thema Bruchrechnung:

Brüche \[\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\]
> Echter Bruch Zähler < Nenner
> Stammbruch Zähler = 1
> Zweigbruch Zähler > 1
> Unechter Bruch Zähler \(\geq\) Nenner
> Scheinbruch Zähler ist Vielfaches von Nenner
> Dezimalbruch Nenner = \(10^n\)
Brüche erweitern \[\frac{a}{n} = \frac{a \cdot {\color{red}p}}{n \cdot {\color{red}p}}\]
> Erweiterungszahl  
Brüche kürzen \[\frac{a\cancel{{\color{red}p}}}{n\cancel{{\color{red}p}}} = \frac{a}{n}\]
> Kürzungszahl  
Brüche gleichnamig machen  
> Gleichnamige Brüche \(=\) gleicher Nenner
> Ungleichnamige Brüche \(=\) unterschiedlicher Nenner
Kehrwert \[\frac{1}{x} \text{ bzw. } x^{-1}\]
Brüche addieren

a) Gleichnamige Brüche

\[\frac{a}{{\color{green}n}} + \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a+b}{{\color{green}n}}\]

b) Ungleichnamige Brüche

\(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen

Brüche subtrahieren

a) Gleichnamige Brüche

\[\frac{a}{{\color{green}n}} - \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a-b}{{\color{green}n}}\]

b) Ungleichnamige Brüche

\(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen
Brüche multiplizieren \[\frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} = \frac{a \cdot b}{m \cdot n}\]
Brüche dividieren \[\frac{a}{m} : \frac{b}{n} = \frac{a}{m} \cdot \frac{n}{b}\]
Doppelbruch \[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\]
Brüche vergleichen  
Gleichheit von Brüchen \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} \neq \frac{c}{d}\)
Brüche vergleichen \(\frac{a}{b} > \frac{c}{d}\), \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\)
Brüche umwandeln  
Brüche umwandeln [6 Unterkapitel!]
Bruchterme  
Bruchterme [8 Unterkapitel!]

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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