Koordinatenform
Die Koordinatenform ist eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung in der analytischen Geometrie.
Koordinatenform einer Gerade
Eine Koordinatenform einer Gerade gibt es nur im $\mathbb{R}^2$.
(1) $ax_1 + bx_2 = c$
(2) $ax + by = c$
In der analytischen Geometrie verwendet man meist die Variablen $x_1$ und $x_2$, wohingegen man in der Analysis eher die Variablen $x$ und $y$ verwendet.
Spezialfälle
$a = 0$: Gerade verläuft parallel zur $x_1$-Achse ($x$-Achse)
$b = 0$: Gerade verläuft parallel zur $x_2$-Achse ($y$-Achse)
$c = 0$: die Gerade geht durch den Ursprung (Ursprungsgerade
)
$c = 1$: die Geradengleichung liegt in Achsenabschnittsform vor
In der Achsenabschnittsform lassen sich die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ablesen:
- Schnittpunkt mit der
$x$-Achse bei$S_x(\frac{1}{a}|0)$ - Schnittpunkt mit der
$y$-Achse bei$S_y(0|\frac{1}{b})$
Normalenvektor ablesen
Ein Vektor, der auf einer Gerade, Kurve, Ebene oder gekrümmten Fläche senkrecht steht, heißt Normalenvektor.
Liegt die Gerade in Koordinatenform vor, lassen sich die Koordinaten des Normalenvektors einfach ablesen: Die Koordinaten des Normalenvektors entsprechen den Koeffizienten von $x_1$ und $x_2$.
Der Normalenvektor $\vec{n}$ der Gerade
$$ 2x_1 + 4x_2 = 9 $$
ist
$$ \vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} $$
Koordinatenform einer Ebene
(1) $ax_1 + bx_2 + cx_3 = d$
(2) $ax + by + cz = d$
In der analytischen Geometrie verwendet man meist die Variablen $x_1$, $x_2$ und $x_3$, wohingegen man in der Analysis eher die Variablen $x$, $y$ und $z$ verwendet.
Spezialfälle
$a = 0$: Ebene verläuft parallel zur $x_1$-Achse ($x$-Achse)
$b = 0$: Ebene verläuft parallel zur $x_2$-Achse ($y$-Achse)
$c = 0$: Ebene verläuft parallel zur $x_3$-Achse ($z$-Achse)
$d = 0$: die Ebene geht durch den Ursprung (Ursprungsebene
)
$d = 1$: die Ebenengleichung liegt in Achsenabschnittsform vor
In der Achsenabschnittsform lassen sich die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ablesen:
- Schnittpunkt mit der
$x$-Achse bei$S_x(\frac{1}{a}|0|0)$ - Schnittpunkt mit der
$y$-Achse bei$S_y(0|\frac{1}{b}|0)$ - Schnittpunkt mit der
$z$-Achse bei$S_z(0|0|\frac{1}{c})$
$2x_1 + 4x_2 - 3x_3 = 1$
$\Rightarrow$ $S_x(\frac{1}{2}|0|0)$, $S_y(0|\frac{1}{4}|0)$ und $S_z(0|0|{-\frac{1}{3}})$
Normalenvektor ablesen
Ein Vektor, der auf einer Gerade, Kurve, Ebene oder gekrümmten Fläche senkrecht steht, heißt Normalenvektor.
Liegt die Ebene in Koordinatenform vor, lassen sich die Koordinaten des Normalenvektors einfach ablesen: Die Koordinaten des Normalenvektors entsprechen den Koeffizienten von $x_1$, $x_2$ und $x_3$.
Der Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene
$$ 2x_1 + 4x_2 - 3x_3 = -5 $$
ist
$$ \vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} $$
Koordinatenform umformen
| Koordinatenform gegeben | Koordinatenform gesucht |
|---|---|
| Koordinatenform in Parameterform | Parameterform in Koordinatenform |
| Koordinatenform in Normalenform | Normalenform in Koordinatenform |
