Hessesche Normalform
Die Hessesche Normalform ist eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung in der analytischen Geometrie.
Erforderliches Vorwissen
Hessesche Normalform einer Gerade
Eine Gerade lässt sich lediglich im $\mathbb{R}^2$ in Normalenform darstellen, weil es im $\mathbb{R}^3$ keinen eindeutigen Normalenvektor gibt.
$$ g\colon\; \vec{n}_0 \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0 $$
Bedeutung
$\vec{n}$: Normalenvektor (Vektor, der auf einer Gerade senkrecht steht)$\vec{n}_0$: Normierter Normalenvektor (Normalenvektor der Länge 1)
Es gilt:$\vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$$|\vec{n}|$: Länge des Normalenvektors$\vec{a}$: Aufpunkt (oder Stützvektor)
Normalenform gegeben
Gegeben sei die Gerade $g$ in Normalenform mit
$$ g\colon\; \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0 $$
Stelle die Hessesche Normalform der Gerade auf.
Länge des Normalenvektors berechnen
$$ |\vec{n}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 $$
Gerade in Hessescher Normalform aufstellen
$$ g\colon\; \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \frac{1}{5} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0 $$
Koordinatenform gegeben
Gegeben sei die Gerade $g$ in Koordinatenform mit
$$ g\colon\; 4x_1 - 3x_2 - 5 = 0 $$
Stelle die Hessesche Normalform der Gerade auf.
Normalenvektor aus Koordinatenform herauslesen
Die Koordinaten des Normalenvektors entsprechen den Koeffizienten von $x_1$ und $x_2$ in der Koordinatenform.
$$ \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix} $$
Länge des Normalenvektors berechnen
$$ |\vec{n}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{25} = 5 $$
Gerade in Hessescher Normalform aufstellen
$$ g\colon\; \frac{1}{5} \cdot [4x_1 - 3x_2 - 5] = 0 $$
Hessesche Normalform einer Ebene
$$ E\colon\; \vec{n}_0 \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0 $$
Bedeutung
$\vec{n}$: Normalenvektor (Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht)$\vec{n}_0$: Normierter Normalenvektor (Normalenvektor der Länge 1)
Es gilt:$\vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$$|\vec{n}|$: Länge des Normalenvektors$\vec{a}$: Aufpunkt (oder Stützvektor)
Normalenform gegeben
Gegeben sei die Ebene $E$ in Normalenform mit
$$ E\colon\; \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0 $$
Stelle die Hessesche Normalform der Ebene auf.
Länge des Normalenvektors berechnen
$$ |\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3 $$
Ebene in Hessescher Normalform aufstellen
$$ E\colon\; \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0 $$
Koordinatenform gegeben
Gegeben sei die Ebene $E$ in Koordinatenform mit
$$ E\colon\; 2x_1 - x_2 - 2x_3 - 5 = 0 $$
Stelle die Hessesche Normalform der Ebene auf.
Normalenvektor aus Koordinatenform herauslesen
Die Koordinaten des Normalenvektors entsprechen den Koeffizienten von $x_1$, $x_2$ und $x_3$ in der Koordinatenform.
$$ \vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} $$
Länge des Normalenvektors berechnen
$$ |\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3 $$
Ebene in Hessescher Normalform aufstellen
$$ E\colon\; \frac{1}{3} \cdot [2x_1 - x_2 - 2x_3 - 5] = 0 $$
Praktische Bedeutung
Die Hessesche Normalform spielt vor allem bei der Berechnung des Abstand eines Punktes von einer Ebene eine Rolle.
Wenn man einen beliebigen Punkt in die Hessesche Normalform einer Ebene einsetzt, erhält man als Ergebnis den Abstand dieses Punktes von der Ebene.
Gegeben sei die Ebene $E$ in Hessescher Normalform mit
$$ E\colon\; \frac{1}{3} \cdot [2x_1 - x_2 - 2x_3 - 5] = 0 $$
Berechne den Abstand $|d|$ des Punktes $P(2|1|2)$ von der Ebene.
Punkt in Hessesche Normalform einsetzen
$$ d = |\frac{1}{3} \cdot [2 \cdot 2 - 1 - 2 \cdot 2 - 5]| = |\frac{1}{3} \cdot (-6)| = |-2| = 2 $$
Der Abstand des Punktes $P$ von der Ebene $E$ beträgt 2 Längeneinheiten.
Hinweis: Da ein Abstand nie negativ sein kann, muss man Betragsstriche setzen.
Interpretation des Ergebnisses
$d > 0$:$P$und der Ursprung$O$liegen auf verschiedenen Seiten der Ebene$E$$d = 0$:$P$liegt auf der Ebene$E$$d < 0$:$P$und der Ursprung$O$liegen auf der gleichen Seite der Ebene$E$
Abstand Punkt-Gerade
Auf dieselbe Weise lässt sich mithilfe der Hesseschen Normalform auch der Abstand Punkt-Gerade berechnen. Aus den oben genannten Gründen ist dies allerdings nur im $\mathbb{R}^2$ möglich.
