Hessesche Normalform

In diesem Kapitel besprechen wir die Hessesche Normalform.

Die Hessesche Normalform ist eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung.

Es empfiehlt sich, zunächst die folgenden Kapitel zu wiederholen

Hessesche Normalform einer Geraden
(nur im \(\mathbb{R}^2\) möglich!)

\(\text{g:} \quad \vec{n}_0 \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0\)

Bedeutung

  • \(\vec{n}\): Normalenvektor
    Der Normalenvektor ist ein Vektor, der mit der Gerade einen rechten Winkel bildet.
  • \(\vec{n}_0\): normierter Normalenvektor (oder Normaleneinheitsvektor)
    Es gilt: \(\vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\)
  • \(|\vec{n}|\): Länge des Normalenvektors
  • \(\vec{a}\): Aufpunkt (oder Stützvektor)

Besonderheit

Eine Gerade lässt sich lediglich im \(\mathbb{R}^2\) in Normalenform darstellen, weil es im \(\mathbb{R}^3\) keinen eindeutigen Normalenvektor gibt!

Beispiel (Normalenform gegeben)

Gerade in Normalenform

\(\text{g:} \quad \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0\)

Länge des Normalenvektors

\(|\vec{n}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5\)

Gerade in Hessescher Normalform

\(\text{g:} \quad \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \frac{1}{5} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0\)

Beispiel (Koordinatenform gegeben)

Gerade in Koordinatenform

\(\text{g:} \quad 4x_1 - 3x_2 - 5 = 0\)

Hinweis:
Die Koordinaten des Normalenvektors entsprechen den Koeffizienten von \(x_1\) und \(x_2\).

\(\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}\)

Länge des Normalenvektors

\(|\vec{n}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{25} = 5\)

Gerade in Hessescher Normalform

\(\text{g:} \quad \frac{1}{5} \cdot [4x_1 - 3x_2 - 5] = 0\)

Hessesche Normalform einer Ebene

\(\text{E:} \quad\vec{n}_0 \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0\)

Bedeutung

  • \(\vec{n}\): Normalenvektor
    Der Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht.
  • \(\vec{n}_0\): normierter Normalenvektor (oder Normaleneinheitsvektor)
    Es gilt: \(\vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\)
  • \(|\vec{n}|\): Länge des Normalenvektors
  • \(\vec{a}\): Aufpunkt (oder Stützvektor)

Beispiel (Normalenform gegeben)

Ebene in Normalenform

\(\text{E:} \quad \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0\)

Länge des Normalenvektors

\(|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3\)

Ebene in Hessescher Normalform

\(\text{E:} \quad \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0\)

Beispiel (Koordinatenform gegeben)

Ebene in Koordinatenform

\(\text{E:} \quad 2x_1 - x_2 - 2x_3 - 5 = 0\)

Hinweis:
Die Koordinaten des Normalenvektors entsprechen den Koeffizienten von \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\).

\(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}\)

Länge des Normalenvektors

\(|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3\)

Ebene in Hessescher Normalform

\(\text{E:} \quad \frac{1}{3} \cdot [2x_1 - x_2 - 2x_3 - 5] = 0\)

Bedeutung der Hesseschen Normalform

Die Hessesche Normalform spielt vor allem bei der Berechnung des Abstands Punkt-Ebene eine Rolle.

Wenn man einen beliebigen Punkt in die Hessesche Normalform einsetzt, erhält man als Ergebnis den Abstand dieses Punktes von der Ebene.

Beispiel

Wie groß ist der Abstand |d| des Punktes P (2|1|2) von der Ebene

\(\text{E:} \quad \frac{1}{3} \cdot [2x_1 - x_2 - 2x_3 - 5] = 0\)

Da die Ebene bereits in Hessescher Normalform gegeben ist, müssen wir nur noch die Koordinaten des Punktes einsetzen.

\(d = |\frac{1}{3} \cdot [2 \cdot 2 - 1 - 2 \cdot 2 - 5]| = |\frac{1}{3} \cdot (-6)| = |-2| = 2\)

Der Abstand des Punktes P von der Ebene E beträgt 2 Längeneinheiten.

Hinweis: Da ein Abstand nie negativ sein kann, muss man Betragsstriche setzen.

Mögliche Ergebnisse

  • \(d > 0\): P und der Ursprung O liegen auf verschiedenen Seiten der Ebene E
  • \(d = 0\): P \(\in\) E
  • \(d < 0\): P und der Ursprung O liegen auf der gleichen Seite der Ebene E

In unserem Beispiel liegt der Punkt P und der Ursprung O auf der gleichen Seite Ebene E.

Auf dieselbe Weise lässt sich mit Hilfe der Hesseschen Normalform auch der Abstand Punkt-Gerade berechnen. Aus den oben genannten Gründen ist dies allerdings nur im \(\mathbb{R}^2\) möglich.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!