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Parameterform in Normalenform

In diesem Kapitel werden wir die Parameterform in Normalenform umwandeln.

Gerade: Parameterform in Normalenform
(nur im \(\mathbb{R}^2\) möglich!)

Das Umwandeln einer Geraden von der Parameterform in die Normalenform läuft so ab:

Vorgehensweise

  1. Parameterform in Koordinatenform umwandeln
    1.1 Parameterform in ein Gleichungssystem umschreiben
    1.2 Eine der beiden Gleichung nach \(\lambda\) auflösen
          und in die andere einsetzen
  2. Koordinatenform in Normalenform umwandeln
    2.1 Normalenvektor \(\vec{n}\) ablesen
    2.2 Beliebigen Aufpunkt \(\vec{a}\) berechnen
    2.3 \(\vec{n}\) und \(\vec{a}\) in die Normalenform einsetzen

Beispiel

Gegeben ist eine Gerade in Parameterform

\(\text{g:} \quad \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{5}{3} \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{4}{3} \end{pmatrix}\)

1.1) Parameterform in ein Gleichungssystem umschreiben

\(\begin{array}{ccccc}
x_1&=&0&+&1\cdot \lambda&\\
x_2&=&\frac{5}{3}&+&(-\frac{4}{3})\cdot \lambda&\\
\end{array}\)

1.2) Eine der beiden Gleichung nach \(\lambda\) auflösen und in die andere einsetzen

Wir lösen die erste Gleichung nach \(\lambda\) auf

\(\lambda = x_1\)

Jetzt setzen wir das Ergebnis in die zweite Gleichung für \(\lambda\) ein

\(x_2 = \frac{5}{3}+(-\frac{4}{3})\cdot x_1\)

\(x_2 = \frac{5}{3} - \frac{4}{3}x_1\)

Unser Ergebnis lässt sich noch "verschönern", wenn man die Gleichung mit 3 multipliziert, um die Brüche zu beseitigen

\(3x_2 = 5 - 4x_1\)

und anschließend alles auf die linke Seite bringt

\(4x_1 + 3x_2 - 5 = 0\)

2.1) Normalenvektor \(\vec{n}\) ablesen

Die Koordinaten des Normalenvektors entsprechen den Koeffizienten von \(x_1\) und \(x_2\) in der Koordinatenform. Folglich gilt:

\({\color{red}4}x_1 + {\color{red}3}x_2 - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{n} = \begin{pmatrix} {\color{red}4} \\ {\color{red}3} \end{pmatrix}\)

2.2) Beliebigen Aufpunkt \(\vec{a}\) berechnen

Als Aufpunkt können wir jeden beliebigen Punkt auf der Geraden verwenden.

Punkte, die auf der Geraden liegen, haben die Eigenschaft,
dass sie die Koordinatengleichung \(4x_1 + 3x_2 - 5 = 0\) erfüllen.

Wenn wir z.B. für \(x_2\) gleich 1 einsetzen
\(4x_1 + 3 \cdot 1 - 5 = 0\)
\(4x_1 + 3 - 5 = 0\)
\(4x_1 - 2 = 0\)
und die Gleichung anschließend nach \(x_1\) auflösen, erhalten wir
\(4x_1 - 2 = 0 \quad |+2\)
\(4x_1 = 2 \quad :4\)
\(x_1 = 0,5\)

Der Punkt (0,5|1) liegt folglich auf der Geraden. Diesen können wir als Aufpunkt hernehmen:

\(\vec{a} = \begin{pmatrix} 0,5 \\ 1 \end{pmatrix}\)

2.3) \(\vec{n}\) und \(\vec{a}\) in die Normalenform einsetzen

\(\text{g:} \quad \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0,5 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0\)

Hinweis

Eine Gerade lässt sich lediglich im \(\mathbb{R}^2\) in Normalenform darstellen,
weil es im \(\mathbb{R}^3\) keinen eindeutigen Normalenvektor gibt!

Ebene: Parameterform in Normalenform

Das Umwandeln einer Ebene von der Parameterform in die Normalenform läuft so ab:

Vorgehensweise

  1. Normalenvektor berechnen
  2. Aufpunkt \(\vec{a}\) auswählen
  3. \(\vec{n}\) und \(\vec{a}\) in Normalenform einsetzen

Beispiel

Gegeben ist eine Ebene in Parameterform

\(\text{E:} \quad \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{5}{2} \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -\frac{3}{2} \end{pmatrix}\)

1.) Normalenvektor berechnen

Der Normalenvektor \(\vec{n}\) entspricht dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.

\(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -\frac{3}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot (-\frac{3}{2}) - (-2) \cdot 1 \\ -2 \cdot 0 - 1 \cdot (-\frac{3}{2}) \\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1,5 \\ 1 \end{pmatrix}\)

2.) Aufpunkt \(\vec{a}\) auswählen

Als Aufpunkt der Normalenform übernehmen wir einfach den Aufpunkt der Parameterform.

\(\vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{5}{2} \end{pmatrix}\)

3.) \(\vec{n}\) und \(\vec{a}\) in Normalenform einsetzen

\(\text{E:} \quad \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = \begin{pmatrix} 2 \\ 1,5 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{5}{2} \end{pmatrix}\right] = 0\)

Das Umwandeln der Parameterform in die Normalenform ist gar nicht schwer. Wichtig ist allerdings, dass du einige Aufgaben selbständig löst. Nur so kannst du überprüfen, ob du auch wirklich alles verstanden hast.

Mehr zu diesem Thema...

Geradengleichungen und Ebenengleichungen kann man folgendermaßen umformen:

  Schwierigkeit Zwischenform
Parameterform in Normalenform einfach ---
Normalenform in Koordinatenform einfach ---
Parameterform in Koordinatenform mittel Normalform
Koordinatenform in Parameterform mittel ---
Normalenform in Parameterform schwer Koordinatenform
Koordinatenform in Normalenform einfach ---

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!