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Kubische Gleichungen lösen

In diesem Artikel lernst du, wie man kubische Gleichungen berechnet. Bevor wir uns anschauen, wie das funktioniert, fragen wir uns, was man unter kubischen Gleichungen überhaupt versteht.

Eine kubische Gleichung ist eine Gleichung dritten Grades, d.h. die Variable x kommt in keiner höheren als der dritten Potenz vor.

Jede kubische Gleichung lässt sich durch äquivalente Umformungen in die folgende Gleichung überführen

\(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\)

Beispiele für kubische Gleichungen

\(2x^3 + 7x^2 + 3x + 5 = 0\)

\(6x^3 = 3 - 8x\)

\(4 (x^2-3x) = x^3+5\)

Lösungsverfahren

  1. Finde durch "Raten" eine Nullstelle

  2. Transformiere die kubische Gleichung in eine quadratische Gleichung
    (mit Hilfe der Polynomdivision oder des Horner-Schemas)

  3. Löse die quadratische Gleichung
    (mit Hilfe der Mitternachtsformel, pq-Formel oder mit dem Satz von Vieta)

Lösen einer kubischen Gleichung - Beispiel

Gegeben ist die kubische Gleichung

\(2x^3 + 4x^2 - 2x - 4 = 0\)

1.) Nullstelle raten

Ja, du hast richtig gelesen. Du sollst eine Nullstelle raten. Das funktioniert natürlich nur, wenn die Nullstelle nicht allzu schwer zu finden ist. In der Schule genügt es meist, wenn du die ganzzahlige Werte zwischen -3 und +3 einsetzt.

Erster Rateversuch: Nullstelle bei \(x = 0\)?

\(2\cdot 0^3 + 4 \cdot 0^2 - 2 \cdot 0 - 4 = -4 \neq 0\)

Zweiter Rateversuch: Nullstelle bei \(x = 1\)?

\(2\cdot 1^3 + 4 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 - 4 = 0\)

Super! Wir haben durch Raten eine Nullstelle gefunden. Jetzt können wir die kubische Gleichung ein wenig vereinfachen.

2.) Kubische Gleichung in quadratische Gleichung transformieren

Mit Hilfe der Polynomdivision oder des Horner-Schemas reduzieren wir die kubische Gleichung zu einer quadratischen Gleichung.

Die Polynomdivision läuft so ab, dass wir unsere Funktion durch \((x-1)\) teilen. Es wird durch \((x-1)\) geteilt, da wir ja bei \(x = 1\) eine Nullstelle gefunden haben. Wäre die Nullstelle bei \(x = -3\), würde man durch \((x+3)\) teilen.

Ausgangssituation

\[(2x^3 + 4x^2 - 2x - 4):(x-1)= \quad?\]

Hinweis: In dem Artikel "Polynomdivision" findest du dieses Beispiel ausführlich erklärt!

Endsituation (nach der Polynomdivision)

\[(2x^3 + 4x^2 - 2x - 4):(x-1)= 2x^2 + 6x + 4\]

Übrigens: Das Horner-Schema ist eine einfache Alternative zur Polynomdivision!

3.) Quadratische Gleichung lösen

\(2x^2 + 6x + 4 = 0\)

Die anderen beiden Nullstellen erhalten wir, wenn wir die quadratische Gleichung lösen, die wir bei der Polynomdivision (oder beim Horner-Schema) berechnet haben. Dazu können wir die Mitternachtsformel, die pq-Formel oder den Satz von Vieta verwenden.

Die beiden Nullstellen heißen: \(x_2 = -2\) und \(x_3 = -1\). Da wir eine Nullstelle bereits erraten haben - nämlich \(x_1 = 1\) - haben wir alle drei Nullstellen dieser Gleichung gefunden.

Nullstelle erraten?!

Viele von euch werden sich fragen, ob man wirklich die erste Nullstelle erraten muss, um ein Polynom 3. Grades (kubische Gleichung) zu lösen. Die unbefriedigende Antwort lautet: Ja! Solange du keinen Computer zur Hand hast, der dir die Nullstellen berechnet, musst du die erste Nullstelle erraten.

Damit du aber dennoch nicht einfach wild herumrätst, haben wir für euch ein paar Tipps zusammengestellt.

Ganzzahlige Nullstellen erraten

Gegeben ist eine Gleichung 3. Grades

\(ax^3 + bx^2 + cx +{\color{red}d} = 0\)

Wenn eine ganzzahlige Lösung existiert, muss sie ein Teiler des absoluten Glieds \({\color{red}d}\) sein.
(Das geht aus dem Satz von Vieta hervor.)

Die Teiler einer Zahl sind alle Zahlen, durch die die Zahl ohne Rest teilbar ist.

Schauen wir uns dazu ein Beispiel an

\(x^3 - 4x^2 + x +{\color{red}6} = 0\)

Wenn eine ganzzahlige Lösung existiert, dann muss sie ein Teiler von \({\color{red}6}\) sein.

Mögliche (ganzzahlige) Lösungen:  \(\pm 1\), \(\pm 2\), \(\pm 3\), \(\pm 6\).

Durch Probieren findet man die Lösung \(x_1 = 2\).

Nicht-ganzzahlige Nullstellen finden

Falls die Nullstelle nicht ganzzahlig ist, kann man diese numerisch ermitteln. Dazu bietet sich im einfachsten Fall das Verfahren der Bisektion an. Als Ergebnis erhält man dabei einen Näherungswert der ersten Nullstelle. Mit diesem Näherungswert kann dann ebenfalls das quadratische Restpolynom (näherungsweise) ermittelt werden.

Polynomdivision oder Horner-Schema?

Viele Studenten fragen sich, wann es besser ist, die Polynomdivision bzw. das Horner-Schema zu verwenden. Für die Praxis kannst du dir merken:

Ist die Quersumme der Koeffizienten der kubischen Gleichung 0 oder 1, verwende die Polynomdivision - ansonsten das Horner-Schema.

Hintergrund ist, dass das Horner-Schema Multiplikationen (und somit Zeit) spart. Dies ist auch der Grund, wieso Computeralgebrasysteme (CAS) und Taschenrechner das Horner-Schema  zum Lösen kubischer Gleichungen verwenden.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!