Betragsgleichungen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man eine Betragsgleichungen löst.
Definition
Gleichungen, in denen Beträge vorkommen, heißen Betragsgleichungen.
Betragsgleichungen rechnerisch lösen
Betragsgleichungen lassen sich durch Fallunterscheidung oder durch Quadrieren lösen. Das Quadrieren hat den Nachteil, dass sich dadurch meist die Gleichung verkompliziert und somit der Lösungsweg länger wird. Die Standardmethode ist deshalb die Fallunterscheidung.
Fallunterscheidung
Betrag durch Fallunterscheidung auflösen
Lösungsmengen der einzelnen Fälle bestimmen
Lösungsmenge der Betragsgleichung bestimmen
zu 1)
Aus der Definition des Betrags
$$ \begin{equation*} |a| = \begin{cases} a &\text{für } a \geq 0 \\[5px] -a &\text{für } a < 0 \end{cases} \end{equation*} $$
ergeben sich folgende zwei Fälle:
- Wenn der Term im Betrag größer oder gleich Null ist (
$a \geq 0$), können wir den Term einfach ohne Betragsstriche schreiben ($|a| = a$). - Wenn der Term im Betrag kleiner als Null ist
$a < 0$, müssen wir die Vorzeichen des Terms umdrehen, um die Betragsstriche weglassen zu können ($|a| = -a$).
zu 2)
Die Lösungsmengen geben wir als Intervalle an.
zu 3)
Die Lösungmenge der Gleichung ist die Vereinigungsmenge der einzelnen Lösungsmengen.
$$ |x + 1| = 3 $$
Betrag durch Fallunterscheidung auflösen
Aus der Definition des Betrags ergibt sich
$$ \begin{equation*} |x + 1| = \begin{cases} x + 1 &\text{für } {\color{green}x + 1 \geq 0} \\[5px] -(x + 1) &\text{für } {\color{red}x + 1 < 0} \end{cases} \end{equation*} $$
Im Folgenden lösen wir die beiden Bedingungen nach $x$ auf, um zu berechnen, für welches $x$ der Term im Betrag größer oder gleich Null (1. Fall) bzw. kleiner Null (2. Fall) ist.
1. Fall: $x + 1 \geq 0$
$$ \begin{align*} x + 1 &\geq 0 &&{\color{gray}|\, -1} \\[5px] x &\geq -1 \end{align*} $$
2. Fall: $x + 1 < 0$
$$ \begin{align*} x + 1 &< 0 &&{\color{gray}|\, -1} \\[5px] x &< -1 \end{align*} $$
Zusammenfassung
$$ \begin{equation*} |x + 1| = \begin{cases} x + 1 &\text{für } {\color{green}x \geq -1} \\[5px] -(x + 1) &\text{für } {\color{red}x < -1} \end{cases} \end{equation*} $$
Lösungsmengen der einzelnen Fälle bestimmen
Fall 1: $x \geq -1$
Für $x \geq -1$ können wir Gleichung $|x + 1| = 3$ umschreiben zu
$$ x + 1 = 3 $$
Jetzt müssen wir noch die Gleichung nach $x$ auflösen:
$$ x + 1 {\color{gray}\:-\:1} = 3 {\color{gray}\:-\:1} $$
$$ x = 2 $$
Die Lösungsmenge $\mathbb{L}_1$ muss sowohl die Bedingung $x \geq -1$ (1. Fall) als auch $x = 2$ (Lösung 1. Fall) erfüllen:
$$ \mathbb{L}_1 = \{2\} $$
Fall 2: $x < -1$
Für $x < -1$ können wir Gleichung $|x + 1| = 3$ umschreiben zu
$$ -(x + 1) = 3 $$
Jetzt müssen wir noch die Gleichung nach $x$ auflösen:
$$ -x - 1 = 3 $$
$$ -x - 1 {\color{gray}\:+\:1} = 3 {\color{gray}\:+\:1} $$
$$ -x = 4 $$
$$ -x {\color{gray}\:\cdot\:(-1)} = 4 {\color{gray}\:\cdot\:(-1)} $$
$$ x = -4 $$
Die Lösungsmenge $\mathbb{L}_2$ muss sowohl die Bedingung $x < -1$ (2. Fall) als auch $x = -4$ (Lösung 2. Fall) erfüllen:
$$ \mathbb{L}_2 = \{-4\} $$
Lösungsmenge der Betragsgleichung bestimmen
$$ \mathbb{L} = \mathbb{L}_1 \cup \mathbb{L}_2 = \{2\} \cup \{-4\} = \{-4; 2\} $$
Quadrieren
Betragsgleichung quadrieren
Gleichung lösen
zu 1)
Durch Quadrieren verschwindet der Betrag, denn es gilt: $|a|^2 = a^2$.
$$ |x + 1| = 3 $$
Betragsgleichung quadrieren
$$ \begin{align*} |x + 1| &= 3 &&{\color{gray}| \phantom{x}^2} \\[5px] |x + 1|^2 &= 3^2 \\[5px] (x+1)^2 &= 3^2 \\[5px] x^2 + 2x + 1 &= 9 \end{align*} $$
Gleichung lösen
Bei $x^2 + 2x + 1 = 9$ handelt es sich um eine quadratische Gleichung.
Wir bringen die Gleichung zunächst in ihre allgemeine Form
$$ \begin{align*} x^2 + 2x + 1 &= 9 &&{\color{gray}| -9} \\[5px] x^2 + 2x - 8 &= 0 \end{align*} $$
und lösen diese dann mithilfe einer Lösungsformel, z. B. mit der pq-Formel.
Die Lösungen sind: $x_1 = -4$ und $x_2 = 2$.
$$ \Rightarrow \mathbb{L} = \{-4;2\} $$
Betragsgleichungen graphisch lösen
Die Betragsgleichung $|x + 1| = 3$, die wir im obigen Abschnitt rechnerisch gelöst haben, können wir auch graphisch lösen. Dazu interpretieren wir die linke und die rechte Seite der Gleichung als Funktionen. Deren Funktionsgraphen zeichnen wir in ein Koordinatensystem.
Die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Graphen bilden die Lösungsmenge.
Zunächst zeichnen wir die linke Seite der Gleichung ohne Betragsstriche ein.
$f(x) = x+1$ ist eine lineare Funktion.
Den Graphen der Betragsfunktion $|f(x)| = |x+1|$ erhält man, indem man alles, was unterhalb der $x$-Achse liegt (gestrichelte Linie) an der $x$-Achse spiegelt.
Bei der rechten Seite der Gleichung ($g(x) = 3$) handelt es sich um eine konstante Funktion. Diese wurde in rot eingezeichnet.
Die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Graphen bilden die Lösungsmenge.
Folglich gilt:
$$ \mathbb{L} = \{-4;2\} $$
Betragsgleichungen mit mehreren Beträgen
$$ |x+3| + |x+4| - 9 = 0 $$
Es handelt es um eine Betragsgleichung mit zwei Beträgen.
Wir lösen die Gleichung durch Fallunterscheidung.
Betrag durch Fallunterscheidung auflösen
Zunächst lösen wir den ersten Betrag auf:
$$ \begin{equation*} |x+3| + |x+4| - 9 = \begin{cases} x+3 + |x+4| - 9 &\text{für } {\color{green}x + 3 \geq 0} \\[5px] -(x+3) + |x+4| - 9 &\text{für } {\color{red}x + 3 < 0} \end{cases} \end{equation*} $$
Im Folgenden lösen wir die beiden Bedingungen nach $x$ auf, um zu berechnen,
für welches $x$ der Term im Betrag größer oder gleich Null bzw. kleiner Null ist:
$$ \begin{equation*} |x+3| + |x+4| - 9 = \begin{cases} {\color{green}x+3 + |x+4| - 9} &\text{für } {\color{green}x \geq -3}\quad {\color{orange}\text{Fall 1}} \\[5px] {\color{red}-(x+3) + |x+4| - 9} &\text{für } {\color{red}x < -3\quad} {\color{orange}\text{Fall 2}} \end{cases} \end{equation*} $$
Da noch ein Betrag übrig ist, müssen wir beide Fälle noch einmal unterteilen:
$$ {\color{orange}\text{Fall 1}} $$
$$ \begin{equation*} {\color{green}x+3 + |x+4| - 9} = \begin{cases} x+3 + x+4 - 9 &\text{für } {\color{green}x+4 \geq 0} \\[5px] x+3 -(x+4) - 9 &\text{für } {\color{red}x+4 < 0} \end{cases} \end{equation*} $$
Wir lösen die Bedingungen nach $x$ auf
$$ \begin{equation*} {\color{green}x+3 + |x+4| - 9} = \begin{cases} x+3 + x+4 - 9 &\text{für } {\color{green}x \geq -4}\quad {\color{#ff8000}\text{Fall 1a}} \\[5px] x+3 -(x+4) - 9 &\text{für } {\color{red}x < -4}\quad {\color{#ff8000}\text{Fall 1b}} \end{cases} \end{equation*} $$
$$ {\color{orange}\text{Fall 2}} $$
$$ \begin{equation*} {\color{red}-(x+3) + |x+4| - 9} = \begin{cases} -(x+3) + x+4 - 9 &\text{für } {\color{green}x+4 \geq 0} \\[5px] -(x+3) -(x+4) - 9 &\text{für } {\color{red}x+4 < 0} \end{cases} \end{equation*} $$
Wir lösen die Bedingungen nach $x$ auf
$$ \begin{equation*} {\color{red}-(x+3) + |x+4| - 9} = \begin{cases} -(x+3) + x+4 - 9 &\text{für } {\color{green}x \geq -4}\quad {\color{#ff8000}\text{Fall 2a}} \\[5px] -(x+3) -(x+4) - 9 &\text{für } {\color{red}x < -4}\quad {\color{#ff8000}\text{Fall 2b}} \end{cases} \end{equation*} $$
Lösungsmengen der einzelnen Fälle bestimmen
$$ {\color{#ff8000}\text{Fall 1a}} $$
Für ${\color{green}x \geq -3}$ (Fall 1) und ${\color{green}x \geq -4}$ (Fall 1a) gilt:
$$ \begin{align*} x+3 + x+4 - 9 &= 0 \\[5px] 2x - 2 &= 0 &&{\color{gray}|\, +2} \\[5px] 2x &= 2 &&{\color{gray}|\, :2} \\[5px] x &= 1 \end{align*} $$
Die Lösungsmenge $\mathbb{L}_{1a}$ muss folgende Bedingungen erfüllen
$x \geq -3$(Fall 1)$x \geq -4$(Fall 1a)$x = 1$(Lösung Fall 1a)
$$ \Rightarrow \mathbb{L}_{1a} = \{1\} $$
$$ {\color{#ff8000}\text{Fall 1b}} $$
Für ${\color{green}x \geq -3}$ (Fall 1) und ${\color{red}x < -4}$ (Fall 1b) gilt:
$$ \begin{align*} x+3 -(x+4) - 9 &= 0 \\[5px] x + 3 - x - 4 - 9 &= 0 \\[5px] -10 &=0 &&{\color{red}\text{ Falsche Aussage!}} \end{align*} $$
$$ \Rightarrow \mathbb{L}_{1b} = \{\;\} $$
$$ {\color{#ff8000}\text{Fall 2a}} $$
Für ${\color{red}x < -3}$ (Fall 2) und ${\color{green}x \geq -4}$ (Fall 2a) gilt:
$$ \begin{align*} -(x+3) + x+4 - 9 &= 0 \\[5px] -x - 3 + x + 4 - 9 &= 0 \\[5px] -8 = 0 &&{\color{red}\text{ Falsche Aussage!}} \end{align*} $$
$$ \Rightarrow \mathbb{L}_{2a} = \{\;\} $$
$$ {\color{#ff8000}\text{Fall 2b}} $$
Für ${\color{red}x < -3}$ (Fall 2) und ${\color{red}x < -4}$ (Fall 2b) gilt:
$$ \begin{align*} -(x+3) -(x+4) - 9 &= 0 \\[5px] -x - 3 -x - 4 - 9 &= 0 \\[5px] -2x - 16 &= 0 &&{\color{gray}|\, +16} \\[5px] -2x &= 16 &&{\color{gray}|\, :(-2)} \\[5px] x &= -8 \end{align*} $$
Die Lösungsmenge $\mathbb{L}_{2b}$ muss folgende Bedingungen erfüllen
$x < -3$(Fall 2)$x < -4$(Fall 2b)$x = -8$(Lösung Fall 2b)
$$ \Rightarrow \mathbb{L}_{2b} = \{-8\} $$
Lösungsmenge der Betragsgleichung bestimmen
$$ \begin{align*} \mathbb{L} &= \mathbb{L}_{1a} \; \cup \; \mathbb{L}_{1b} \; \cup \; \mathbb{L}_{2a} \; \cup \; \mathbb{L}_{2b} \\[5px] &= \{1\} \;\cup\; \{\;\} \cup \{\;\} \;\cup\; \{-8\} \\[5px] &= \{-8;1\} \end{align*} $$
$$ |x-1|=|x-3| $$
Es handelt es um eine Betragsgleichung mit zwei Beträgen.
In diesem Fall ist es einfacher, die Gleichung zu quadrieren.
Betragsgleichung quadrieren
$$ \begin{align*} |x-1| &= |x-3| &&{\color{gray}| \phantom{x}^2} \\[5px] |x-1|^2 &= |x-3|^2 \\[5px] x^2 - 2x + 1 &= x^2 - 6x + 9 \end{align*} $$
Gleichung lösen
Wir bringen die Gleichung zunächst in ihre allgemeine Form
$$ \begin{align*} x^2 - 2x + 1 &= x^2 - 6x + 9 &&{\color{gray}|\, -x^2+6x-9} \\[5px] 4x - 8 &= 0 \end{align*} $$
Bei $4x - 8 = 0$ handelt es sich um eine lineare Gleichung, die wir durch Äquivalenzumformungen lösen.
$$ \begin{align*} 4x - 8 &= 0 &&{\color{gray}|\, +8} \\[5px] 4x &= 8 &&{\color{gray}|\, :4} \\[5px] x &= 2 \end{align*} $$
$$ \Rightarrow \mathbb{L} = \{2\} $$
