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Vektor zwischen 2 Punkten berechnen

Du hast zwei Punkte P und Q gegeben und willst den Vektor zwischen diesen beiden Punkten berechnen. Der sog. Verbindungsvektor \(\vec{PQ}\) berechnet sich zu

\[
\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p}
\]

Warum steht da plötzlich \(\vec{q}\) und \(\vec{p}\)? Naja, ein Verbindungsvektor berechnet sich eben aus zwei Ortsvektoren. Die Ortvektoren sind in diesem Fall identisch mit den beiden Punkten, weshalb du dir einfach folgendes merken kannst:

Willst du den Vektor zwischen zwei Punkten berechnen, ziehe vom zweiten Punkt den ersten ab!

Der Vollständigkeit halber erkläre ich aber noch kurz, was man unter einem Ortsvektor versteht.

Als Ortsvektor eines Punktes bezeichnet man in der Mathematik einen Vektor, der von einem festen Bezugspunkt zu diesem Punkt (Ort) zeigt.

Da in der Geometrie dieser Bezugspunkt der Ursprung ist (wird mit \(O\) abgekürzt), ergibt sich der Ortsvektor eines Punktes P zu \(\vec{OP} = \vec{p}\). Dabei ist \(\vec{p}\) nur eine abkürzende Schreibweise für \(\vec{OP}\). Mathematiker sind schreibfaul!

Wenn der Punkt P die Koordinaten (1/2/3) hat, dann heißt sein Ortsvektor

\[
\vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}
\]

Guck dir am besten die folgenden Beispiele an, um etwas Licht ins Dunkel zu bringen.

Beispiel - Rechnerisch

Gegeben sind die Punkte P (1/3) und Q (4/1). Die Ortsvektoren sind dann entsprechend

\[\vec{p}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \qquad \vec{q}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Der Vektor zwischen den beiden Punkten ist dann

\[\vec{PQ}= \vec{q} - \vec{p} =\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} \]

Das Problem "Wie berechnet man einen Vektor zwischen zwei Punkten?" lässt sich also auf die Subtraktion zweier Vektoren reduzieren. Ist doch gar nicht so schwer, oder?

Beispiel - Graphisch

Hinweis: Wir verwenden hier dieselben beiden Punkte wie bei dem rechnerischen Beispiel.

Gegeben ist ein Punkt P (1/3).

Der Ortsvektor \(\vec{OP}=\vec{p}\) zeigt vom Ursprung auf den Punkt P.

Gegeben ist ein zweiter Punkt Q (4/1).

Der Ortsvektor ist wiederum der Vektor zwischen dem Ursprung und dem Punkt.

Gesucht ist der Verbindungsvektor \(\vec{PQ}\).

Wie ich eingangs erwähnte, berechnet sich der Verbindungsvektor zu \(\vec{PQ}=\vec{q}-\vec{p}\).

An dieser Stelle lohnt es sich, sich noch einmal bewusst zu machen, wie man Vektoren graphisch subtrahiert.

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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