Vektoraddition
In diesem Kapitel schauen wir uns die Vektoraddition an.
Erforderliches Vorwissen
Voraussetzung
Vektoren lassen sich nur dann addieren, wenn sie gleicher Dimension und gleicher Art sind.
Es gibt zwei Arten von Vektoren: Spaltenvektoren und Zeilenvektoren. Im Schulunterricht kommen in der Regel ausschließlich Spaltenvektoren vor.
Ist eine Addition von $\vec{a} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a\end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} x_b \\ y_b\end{pmatrix}$ möglich?
Eine Addition von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist möglich,
da sie gleicher Dimension und gleicher Art sind.
Ist eine Addition von $\vec{a} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a\end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix}$ möglich?
Eine Addition von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist nicht möglich,
da sie zwar gleicher Art, aber nicht gleicher Dimension sind.
Ist eine Addition von $\vec{a} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix}$ möglich?
Eine Addition von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist möglich,
da sie gleicher Dimension und gleicher Art sind.
Ist eine Addition von $\vec{a} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} x_b & y_b & z_b \end{pmatrix}$ möglich?
Eine Addition von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist nicht möglich,
da sie zwar gleicher Dimension, aber nicht gleicher Art sind.
(Hinweis: Vektor $\vec{a}$ ist ein Spaltenvektor, Vektor $\vec{b}$ ein Zeilenvektor)
Ist eine Addition von $\vec{a} = \begin{pmatrix} x_a & y_a & z_a \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} x_b & y_b & z_b \end{pmatrix}$ möglich?
Eine Addition von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist möglich,
da sie gleicher Dimension und gleicher Art sind.
Vektoren rechnerisch addieren
Vektoren werden addiert, indem man ihre Komponenten addiert:
$$ \vec{a}+\vec{b} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x_b \\ y_b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_a+x_b \\ y_a+y_b\end{pmatrix} $$
Vektoren höherer Dimension werden nach demselben Prinzip addiert.
Berechne $\begin{pmatrix} 1 \\ 2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix}$.
$$ \begin{pmatrix} 1 \\ 2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+3 \\ 2+4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix} $$
Berechne $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}$.
$$ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+4 \\ 2+5 \\ 3+6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 9 \end{pmatrix} $$
Rechenregeln
Vektoren graphisch addieren
Gegeben sind die beiden Vektoren
$$ \vec{p}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \qquad \vec{q}=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}; $$
Berechne $\vec{p} + \vec{q}$ graphisch.
Graphisch addiert man zwei Vektoren, indem man den zweiten Vektor an der Spitze des ersten Vektors beginnen lässt.
