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Vektorsubtraktion

In diesem Kapitel schauen wir uns die Vektorsubtraktion an.

Erforderliches Vorwissen

Voraussetzung 

Vektoren lassen sich nur dann subtrahieren, wenn sie gleicher Dimension und gleicher Art sind.

Es gibt zwei Arten von Vektoren: Spaltenvektoren und Zeilenvektoren. Im Schulunterricht kommen in der Regel ausschließlich Spaltenvektoren vor.

Beispiel 1 

Ist eine Subtraktion von $\vec{a} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a\end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} x_b \\ y_b\end{pmatrix}$ möglich?

Eine Subtraktion von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist möglich, da sie gleicher Dimension und gleicher Art sind.

Beispiel 2 

Ist eine Subtraktion von $\vec{a} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a\end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix}$ möglich?

Eine Subtraktion von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist nicht möglich, da sie zwar gleicher Art, aber nicht gleicher Dimension sind.

Beispiel 3 

Ist eine Subtraktion von $\vec{a} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix}$ möglich?

Eine Subtraktion von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist möglich, da sie gleicher Dimension und gleicher Art sind.

Beispiel 4 

Ist eine Subtraktion von $\vec{a} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} x_b & y_b & z_b \end{pmatrix}$ möglich?

Eine Subtraktion von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist nicht möglich, da sie zwar gleicher Dimension, aber nicht gleicher Art sind. (Hinweis: Vektor $\vec{a}$ ist ein Spaltenvektor, Vektor $\vec{b}$ ein Zeilenvektor)

Beispiel 5 

Ist eine Subtraktion von $\vec{a} = \begin{pmatrix} x_a & y_a & z_a \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} x_b & y_b & z_b \end{pmatrix}$ möglich?

Eine Subtraktion von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist möglich, da sie gleicher Dimension und gleicher Art sind.

Vektoren rechnerisch subtrahieren 

Vektoren werden subtrahiert, indem man ihre Komponenten subtrahiert:

$$ \vec{a}-\vec{b} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} x_b \\ y_b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_a-x_b \\ y_a-y_b\end{pmatrix} $$

Vektoren höherer Dimension werden nach demselben Prinzip subtrahiert.

Beispiel 6 

Berechne $\begin{pmatrix} 4 \\ 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 2\end{pmatrix}$.

$$ \begin{pmatrix} 4 \\ 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 3-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Beispiel 7 

Berechne $\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$.

$$ \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6-1 \\ 5-2 \\ 4-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Vektoren graphisch subtrahieren 

Beispiel 8 

Gegeben sind die beiden Vektoren

$$ \vec{p}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \qquad \vec{q}=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}; $$

Berechne $\vec{p} - \vec{q}$ graphisch.

Zunächst wird der Vektor $\vec{p}$ eingezeichnet.

Abb. 1 / Graphische Vektorsubtraktion 1 

Jetzt müssen wir den Vektor $-\vec{q}$ bestimmen: $\vec{q}=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}$ $-\vec{q}=\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix}$

Graphisch subtrahiert man zwei Vektoren, indem man den zweiten Vektor an der Spitze des ersten Vektors beginnen lässt, wobei die Koordinaten des zweiten Vektors aufgrund des negativen Vorzeichen vorher umgedreht werden.

Abb. 2 / Graphische Vektorsubtraktion 2 

Der Ergebnisvektor (hier rot eingezeichnet) ist der Vektor, der vom Fuß des ersten Vektors bis zur Spitze des zweiten Vektors reicht.

Abb. 3 / Graphische Vektorsubtraktion 3 

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