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Winkel zwischen zwei Vektoren

Bevor du dich mit der Berechnung eines Winkels zwischen zwei Vektoren beschäftigst, solltest du dir den Artikel zum Skalarprodukt durchlesen. Das ist nämlich der theoretische Hintergrund zu diesem Thema.

Winkel zwischen zwei Vektoren - Formel

\[\text{cos }\varphi = \frac{\vec{u}\circ\vec{v}}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|} \qquad \rightarrow \qquad \varphi = \text{cos }^{-1}\left(\frac{\vec{u}\circ\vec{v}}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|}\right) \]

Vorgehensweise

  1. Skalarprodukt berechnen
  2. Längen der Vektoren berechnen
  3. Zwischenergebnisse in die Formel einsetzen
  4. Formel nach \(\varphi\) auflösen

Wusstest du schon, dass du mit deinem Casio Taschenrechner auch den Winkel zwischen zwei Vektoren kannst?

Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen - Beispiel

Gegeben sind die beiden Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\).

\[\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}; \qquad \vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix};\]

Wie groß ist der Winkel zwischen den Vektoren?

1.) Skalarprodukt berechnen

\[\vec{u}\circ\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot (-1) + 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = -3\]

2.) Längen der Vektoren berechnen

\[\left|\vec{u}\right| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = 3\]

\[\left|\vec{v}\right| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}\]

3.) Zwischenergebnisse in die Formel einsetzen

\[\text{cos }\varphi = \frac{\vec{u}\circ\vec{v}}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|} \qquad \rightarrow \qquad \text{cos }\varphi = \frac{-3}{3 \cdot \sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}\]

4.) Formel nach \(\varphi\) auflösen

\[\varphi = \text{cos}^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \approx 125,26°\]

Antwort: Der Winkel zwischen den beiden Vektoren beträgt etwa 125,26° Grad.

Das Ergebnis verstehen

Der Winkel befindet sich stets zwischen 0° und 180°, da dies dem Wertebereich der \(\cos^{-1}\)-Funktion entspricht.

In der Abbildung ist zu erkennen, dass es neben dem Winkel \(\alpha\) (um den Winkel geht es in diesem Artikel!) noch einen weiteren Winkel gibt, der hier mit \(\beta\) bezeichnet wird.

Mit Hilfe der oben erwähnten Formel berechnest du stets den Winkel zwischen den Vektoren, d.h. den Winkel \(\alpha\).

Es gilt: \(\alpha+\beta = 360°\)
bzw.
\(\beta = 360° - \alpha\)

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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