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Skalarmultiplikation

In der linearen Algebra wird unter einem Skalar meist nichts anderes als eine reelle Zahl verstanden. Hinter dem Begriff Skalarmultiplikation verbirgt sich also die Frage: "Was passiert mit einem Vektor, wenn ich ihn mit einer (reellen) Zahl multipliziere?". Zum Glück lässt sich diese Frage leicht beantworten!

Wird ein Vektor \(\vec{v}\) mit einer reellen Zahl \(\lambda\) multipliziert, wird jede Komponente des Vektors mit dieser Zahl multipliziert.

\[\lambda \cdot \vec{v} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda \cdot x \\ \lambda \cdot y \\ \lambda \cdot z \end{pmatrix}\]

Wem die Skalarmultiplikation (häufig auch S-Multiplikation oder skalare Multiplikation genannt) noch nicht klar ist, sollte sich das folgende Beispiel anschauen.

Wusstest du schon, dass du mit deinem Casio Taschenrechner auch einen Vektor mit einem Skalar multiplizieren kannst?

Beispiel einer Skalarmultiplikation

Gegeben ist der Skalar \(\lambda\) und der Vektor \(\vec{v}\)

\(\lambda = 5; \qquad \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix};\)

Die Skalarmultiplikation führt dann zu folgendem Ergebnis

\( \lambda \cdot \vec{v} = 5 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \cdot 2 \\ 5\cdot 1 \\ 5 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \\ 10 \end{pmatrix}; \)

Skalarmultiplikation - Graphisch

Multipliziert man einen Vektor mit einem Skalar (hier Variable c), wird der Vektor - in Abhängigkeit des Wertes des Skalars - verlängert, verkürzt oder er ändert seine Richtung.

  • c > 1: Der Vektor wird verlängert.
  • 0 < c < 1: Der Vektor wird verkürzt.
  • c < 0: Der Vektor ändert seine Richtung.

Diese Tatsache soll dir folgende Graphik illustrieren. Verschiebe den Knopf, um zu sehen, welchen Einfluss verschiedene Skalarwerte auf den Vektor haben.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!