Zählergrad & Nennergrad

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter dem Zählergrad und dem Nennergrad versteht.

Um dieses Thema zu verstehen, müssen wir zunächst klären, was eine Potenz ist.

Eine Potenz ist eine abkürzende Schreibweise für die wiederholte Multiplikation eines Faktors.

Beispiel

\[2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4\]

\[3 \cdot 3 = 3^2\]

Allgemein

\[x_1 \cdot x_2 \dots \cdot x_n = x^n\]

Dabei bezeichnet man \(x\) als die Basis und \(n\) als den Exponenten der Potenz \(x^n\).

Zählergrad bestimmen

Unter dem Zählergrad einer Funktion versteht man die höchste Potenz, die im Zähler vorkommt.

"Höchste Potenz" bedeutet: Die Potenz mit dem größten Exponenten.

Beispiel 1

Der Zählergrad der Funktion

\[f(x) = \frac{x^{\fcolorbox{Red}{}{\(3\)}} +4x^2 -7}{x^2 + 3}\]

ist 3, da \(x^{\color{red}3}\) die höchste Potenz im Zähler ist.

Beispiel 2

Der Zählergrad der Funktion

\[f(x) = \frac{9x + 4x^5 - 3x^{\fcolorbox{Red}{}{\(7\)}} +4x^2 +2}{2x^4 - 5x^6 + 8}\]

ist 7, da \(x^{\color{red}7}\) die höchste Potenz im Zähler ist.

Beispiel 3

Der Zählergrad der Funktion

\[f(x) = \frac{2x + 4}{3x - 4} = \frac{2x^{\fcolorbox{Red}{}{\(1\)}} + 4}{3x - 4}\]

ist 1, da \(x^{\color{red}1}\) die höchste Potenz im Zähler ist.

Hinweis: Ein Potenzgesetz lautet \(x^1 = x\).

Nennergrad bestimmen

Unter dem Nennergrad einer Funktion versteht man die höchste Potenz, die im Nenner vorkommt.

"Höchste Potenz" bedeutet: Die Potenz mit dem größten Exponenten.

Beispiel 1

Der Nennergrad der Funktion

\[f(x) = \frac{x^3 +4x^2 -7}{x^{\fcolorbox{Red}{}{\(2\)}} + 3}\]

ist 2, da \(x^{\color{red}2}\) die höchste Potenz im Nenner ist.

Beispiel 2

Der Nennergrad der Funktion

\[f(x) = \frac{9x + 4x^5 - 3x^7 +4x^2 +2}{2x^4 - 5x^{\fcolorbox{Red}{}{\(6\)}} + 8}\]

ist 6, da \(x^{\color{red}6}\) die höchste Potenz im Nenner ist.

Beispiel 3

Der Nennergrad der Funktion

\[f(x) = \frac{2x + 4}{3x - 4} = \frac{2x + 4}{3x^{\fcolorbox{Red}{}{\(1\)}} - 4}\]

ist 1, da \(x^{\color{red}1}\) die höchste Potenz im Nenner ist.

Hinweis: Ein Potenzgesetz lautet \(x^1 = x\).

Mehr zu gebrochenrationalen Funktionen

Im Zusammenhang mit gebrochenrationalen Funktionen gibt es bestimmte Fragestellungen, die in Prüfungen immer wieder abgefragt werden. Es lohnt sich daher, die nachfolgenden Kapitel systematisch durchzuarbeiten.

  Kriterium
Zählergrad bestimmen Höchste Potenz im Zähler
Nennergrad bestimmen Höchste Potenz im Nenner
Asymptoten berechnen  
> Senkrechte Asymptote Nullstelle des Nenners (= Definitionslücke)
> Waagrechte Asymptote Zählergrad < Nennergrad
                oder
Zählergrad = Nennergrad
> Schiefe Asymptote Zählergrad = Nennergrad + 1
> Asymptotische Kurve Zählergrad > Nennergrad + 1
Nullstellen berechnen \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \quad \rightarrow \quad P(x_0) = 0 \text{ und } Q(x_0) \neq 0\)
Polstelle \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \quad \rightarrow \quad Q(x_0) = 0 \text{ und } P(x_0) \neq 0\)
Hebbare Definitionslücke \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \quad \rightarrow \quad Q(x_0) = 0 \text{ und } P(x_0) = 0\)
Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion  
Partialbruchzerlegung  

Vergewissere dich, dass du sowohl graphisch als auch rechnerisch die Begriffe "Nullstelle", "Definitionslücke", "Polstelle" und "Hebbare Definitionslücke" voneinander abgrenzen kannst. Auch den Unterschied zwischen einer Polstelle und einer waagrechten Asymptote solltest du dir bewusst machen. All das wird in den obigen Artikeln ausführlich besprochen.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!