Flächeninhalt: Drachenviereck
In diesem Kapitel lernen wir, den Flächeninhalt eines Drachenvierecks zu berechnen.
Ein Drachenviereck
ist eine geometrische Figur, genauer gesagt ein Viereck, mit speziellen Eigenschaften und Flächeninhalt
ist der Fachbegriff für die Größe einer Fläche.
Erforderliches Vorwissen
Herleitung der Formel
Der Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet sich nach der Formel$A = a \cdot b$ (Länge mal Breite)
Jedes Drachenviereck lässt sich zu einem Rechteck umformen.
Herleitung der Formel
Gegeben ist ein beliebiges Drachenviereck.
Die Diagonalen nennen wir $e$ und $f$.
Da $e$ und $f$ aufeinander senkrecht stehen, wird das Drachenviereck durch die Diagonalen in vier rechtwinklige Dreiecke geteilt.
Wir schneiden die beiden Dreiecke $1$ und $2$ aus und bringen sie durch Verschieben und Drehen auf die neuen Positionen $1^{\prime}$ und $2^{\prime}$.
Wie groß ist das Rechteck, das aus den Dreiecken $1^{\prime}$, $4$, $3$ und $2^{\prime}$ gebildet wird?
Die Formel ist klar: Länge mal Breite
.
Länge: $e$
Im Drachenviereck halbiert $e$ die Diagonale $f$.
Für die Breite gilt deshalb: $\frac{1}{2}f$
$$ \Rightarrow A = e \cdot \frac{1}{2}f = \frac{1}{2}ef $$
Formel
$$ A = \frac{1}{2}ef $$
Die beiden Diagonalen $e$ und $f$ sind Längen in jeweils derselben Maßeinheit.
Falls die Längen nicht in derselben Maßeinheit vorliegen, müssen wir umrechnen.
$A$ steht für den Flächeninhalt.
| Längeneinheiten | Flächeneinheiten |
|---|---|
$\textrm{mm}$ Millimeter | $\textrm{mm}^2$ Quadratmillimeter |
$\textrm{cm}$ Zentimeter | $\textrm{cm}^2$ Quadratzentimeter |
$\textrm{dm}$ Dezimeter | $\textrm{dm}^2$ Quadratdezimeter |
$\textrm{m}$ Meter | $\textrm{m}^2$ Quadratmeter |
$\textrm{km}$ Kilometer | $\textrm{km}^2$ Quadratkilometer |
Anleitung
Formel aufschreiben
Werte für $\boldsymbol{e}$ und $\boldsymbol{f}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Achte beim Ergebnis auf die Einheit! Eine $3\ \textrm{cm}$ große Fläche gibt es nicht!
Beispiele
Wie groß ist der Flächeninhalt eines Drachenvierecks mit $e = 3\ \textrm{cm}$ und $f = 2\ \textrm{cm}$?
Formel aufschreiben
$$ A = \frac{1}{2}ef $$
Werte für $\boldsymbol{e}$ und $\boldsymbol{f}$ einsetzen
$$ \phantom{A} = \frac{1}{2} \cdot 3\ \textrm{cm} \cdot 2\ \textrm{cm} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{A} &= \left(\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2\right) \cdot (\textrm{cm} \cdot \textrm{cm}) \\[5px] &= 3\ \textrm{cm}^2 \end{align*} $$
Wie groß ist der Flächeninhalt eines Drachenvierecks mit $e = 7\ \textrm{m}$ und $f = 5\ \textrm{m}$?
Formel aufschreiben
$$ A = \frac{1}{2}ef $$
Werte für $\boldsymbol{e}$ und $\boldsymbol{f}$ einsetzen
$$ \phantom{A} = \frac{1}{2} \cdot 7\ \textrm{m} \cdot 5\ \textrm{m} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{A} &= \left(\frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5\right) \cdot (\textrm{m} \cdot \textrm{m}) \\[5px] &= 17{,}5\ \textrm{m}^2 \end{align*} $$
Wusstest du schon, dass $\textrm{m}^2$ lediglich eine abkürzende Schreibweise für $\textrm{m} \cdot \textrm{m}$ ist? Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel zu den Potenzen!
