Summenzeichen
In diesem Kapitel lernen wir das Summenzeichen kennen.
Definition
$$ \sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n $$
Sprechweise
Summe über
$a_k$ von $k = 1$ bis $k = n$
Bedeutung
Das Summenzeichen $\boldsymbol{\sum}$ dient zur vereinfachten Darstellung von Summen.
Bei $\sum$ handelt es sich um den griechischen Großbuchstaben Sigma
.
Symbolverzeichnis
$k$heißt Laufvariable, Laufindex oder Summationsvariable$1$heißt Startwert oder untere Grenze$n$heißt Endwert oder obere Grenze$a_k$ist die Funktion bezüglich der Laufvariable
Bezeichnung der Laufvariable
Die Laufvariable kann beliebig benannt werden.
$$ \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{i=1}^{n} a_i = \sum_{j=1}^{n} a_j $$
Summe berechnen
Wir erhalten alle Summanden der Summe, indem wir in $a_k$ für die Variable $k$ zunächst $1$ (= Startwert), dann $2$ usw. und schließlich $n$ (= Endwert) einsetzen.
Beispiele
Berechne die Summe $\sum_{k=1}^{5} k^2$.
Vorüberlegungen
- Laufvariable:
$k$ - Startwert:
$1$ - Endwert:
$5$ - Funktion:
$a(k) = k^2$
Funktionswerte berechnen
$\boldsymbol{k}$ | $\to$ | $\boldsymbol{a(k) = k^2}$ |
|---|---|---|
$1$ | $\to$ | $a(1) = 1^2 = 1$ |
$2$ | $\to$ | $a(2) = 2^2 = 4$ |
$3$ | $\to$ | $a(3) = 3^2 = 9$ |
$4$ | $\to$ | $a(4) = 4^2 = 16$ |
$5$ | $\to$ | $a(5) = 5^2 = 25$ |
Summe berechnen
$$ \begin{align*} \sum_{k={\color{red}1}}^{{\color{red}5}} k^2 &= {\color{red}1}^2 + {\color{maroon}2}^2 + {\color{maroon}3}^2 + {\color{maroon}4}^2 + {\color{red}5}^2 \\ &= 1 + 4 + 9 + 16 + 25 \\[5px] &= 55 \end{align*} $$
Berechne die Summe $\sum_{i=5}^{8} 3i$.
Vorüberlegungen
- Laufvariable:
$i$ - Startwert:
$5$ - Endwert:
$8$ - Funktion:
$a(i) = 3i$
Funktionswerte berechnen
$\boldsymbol{i}$ | $\to$ | $\boldsymbol{a(i) = 3i}$ |
|---|---|---|
$5$ | $\to$ | $a(5) = 3 \cdot 5 = 15$ |
$6$ | $\to$ | $a(6) = 3 \cdot 6 = 18$ |
$7$ | $\to$ | $a(7) = 3 \cdot 7 = 21$ |
$8$ | $\to$ | $a(8) = 3 \cdot 8 = 24$ |
Summe berechnen
$$ \begin{align*} \sum_{i={\color{red}5}}^{{\color{red}8}} 3i &= 3 \cdot {\color{red}5} + 3 \cdot {\color{maroon}6} + 3 \cdot {\color{maroon}7} + 3 \cdot {\color{red}8} \\ &= 15 + 18 + 21 + 24 \\[5px] &= 78 \end{align*} $$
Berechne die Summe $\sum_{j=1}^{4} (2j-1)$.
Vorüberlegungen
- Laufvariable:
$j$ - Startwert:
$1$ - Endwert:
$4$ - Funktion:
$a(j) = 2j-1$
Funktionswerte berechnen
$\boldsymbol{j}$ | $\to$ | $\boldsymbol{a(j) = 2j-1}$ |
|---|---|---|
$1$ | $\to$ | $a(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$ |
$2$ | $\to$ | $a(2) = 2 \cdot 2 - 1 = 3$ |
$3$ | $\to$ | $a(3) = 2 \cdot 3 - 1 = 5$ |
$4$ | $\to$ | $a(4) = 2 \cdot 4 - 1 = 7$ |
Summe berechnen
$$ \begin{align*} \sum_{j={\color{red}1}}^{{\color{red}4}} (2j-1) &= (2 \cdot {\color{red}1} - 1) + (2 \cdot {\color{maroon}2} - 1) + (2 \cdot {\color{maroon}3} - 1) + (2 \cdot {\color{red}4} - 1) \\ &= 1 + 3 + 5 + 7 \\[5px] &= 16 \end{align*} $$
Rechenregeln
Vorziehen konstanter Faktoren
$$ \sum_{k=1}^{n} c \cdot a_k = c \cdot \sum_{k=1}^{n} a_k $$
Aufspalten einer Summe
$$ \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{m} a_k + \sum_{k=m+1}^{n} a_k \quad (1<m<n) $$
Addition von Summen gleicher Länge
$$ \sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k + c_k + \ldots) = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k + \sum_{k=1}^{n} c_k + \ldots $$
Besteht die Funktion aus einer Summe (Differenz), müssen Klammern gesetzt werden.
Umnummerierung (Indexverschiebung)
$$ \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=m}^{m+n-1} a_{k-m+1},\quad \sum_{k=m}^{n} a_k = \sum_{k=l}^{n-m+l} a_{k+m-l} $$
Vertauschen der Summationsfolge bei Doppelsummen
$$ \sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{m} a_{ik} = \sum_{k=1}^{m}\sum_{i=1}^{n} a_{ik} $$
Häufige Fehler
Um Fehler zu vermeiden, solltest du dir merken:
$$ \sum_{k=1}^{n} a_k \cdot b_k \neq \sum_{k=1}^{n} a_k \cdot \sum_{k=1}^{n} b_k $$
$$ \sum_{k=1}^{n} a_k^2 \neq \left(\sum_{k=1}^{n} a_k\right)^2 $$
Besondere Summen
Fall: $\boldsymbol{m = n}$
$$ \sum_{k=n}^{n} a_k = a_n $$
Entspricht der Startwert dem Endwert, besteht die Summe aus einem einzigen Summanden $a_n$.
Fall: $\boldsymbol{m > n}$
$$ \sum_{k=m}^{n} a_k = 0 $$
Ist der Startwert größer als der Endwert, ist die Summe leer.
Eine leere Summe wird als $0$ definiert.
Zur Erinnerung: $0$ ist das neutrale Element
der Addition.
$$ \sum_{k=m}^{n} c = (n - m {\color{red}\;+\;1}) \cdot c $$
Wenn in der Summe eine Konstante – also ein Wert, der von der Laufvariable unabhängig ist – steht, kann die Summe zu einem einfachen Produkt umgeschrieben werden.
$$ \begin{align*} \sum_{k=3}^{8} 4 &= (8 - 3 {\color{red}\;+\;1}) \cdot 4 \\ &= 6 \cdot 4 \\[5px] &= 24 \end{align*} $$
$$ \begin{align*} \sum_{k=8}^{9} 3 &= (9 - 8 {\color{red}\;+\;1}) \cdot 3 \\ &= 2 \cdot 3 \\[5px] &= 6 \end{align*} $$
Die obige Formel lässt sich noch vereinfachen, wenn der Startwert $1$ ist:
$$ \sum_{k=1}^{n} c = n \cdot c $$
