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Grenzwert einer Exponentialfunktion

In diesem Kapitel lernen wir, wie man den Grenzwert einer Exponentialfunktion berechnet.

Bevor du dich mit diesem Thema beschäftigst, solltest du den folgenden Artikel durchlesen

Wenn du das Verhalten einer Exponentialfunktion im Unendlichen erklären sollst, musst du die beiden Grenzwerte

\[\lim_{x \to +\infty} a^x \qquad \text{und} \qquad \lim_{x \to -\infty} a^x\]

berechnen.

Dazu kannst du entweder jeweils eine Wertetabelle anlegen oder aber dir den Grenzwert mit Hilfe der untenstehenden Kenntnisse erschließen.

\[\begin{equation*}
\lim_{x\to\fcolorbox{Red}{}{\(+\infty\)}} a^x =
\begin{cases}
+\infty & \text{für \(a > 1\)} \\
0& \text{für \(0 < a < 1\)} \\
\text{existiert nicht*} & \text{für \(a < 0\)}
\end{cases}
\end{equation*}\]

*die Basis \(a\) einer Exponentialfunktion ist nur für positive Werte definiert.

Beispiel 1

\[\lim_{x\to+\infty} 2^x = +\infty \qquad \text{wegen } 2 > 1\]

\begin{array}{c|c|c|c|c}
x & 5 & 10 & 15 & 20 \\ \hline
f(x) & 32 & 1.024 & 32.768 & 1.048.576
\end{array}

Beispiel 2

\[\lim_{x\to+\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^x = 0 \qquad \text{wegen } 0 < \frac{1}{2} < 1\]

\begin{array}{c|c|c|c|c}
x & 5 & 10 & 15 & 20 \\ \hline
f(x) & \frac{1}{32} & \frac{1}{1.024} & \frac{1}{32.768} & \frac{1}{1.048.576}
\end{array}

Beispiel 3

\[\lim_{x\to+\infty} (-2)^x = \text{nicht existent} \qquad \text{wegen } -2 < 0\]

\[\begin{equation*}
\lim_{x\to\fcolorbox{Red}{}{\(-\infty\)}} a^x =
\begin{cases}
0 & \text{für \(a > 1\)} \\
+\infty & \text{für \(0 < a < 1\)} \\
\text{existiert nicht*} & \text{für \(a < 0\)}
\end{cases}
\end{equation*}\]

*die Basis \(a\) einer Exponentialfunktion ist nur für positive Werte definiert.

Beispiel 1

\[\lim_{x\to-\infty} 2^x = 0 \qquad \text{wegen } 2 > 1\]

\begin{array}{c|c|c|c|c}
x & -5 & -10 & -15 & -20 \\ \hline
f(x) & \frac{1}{32} & \frac{1}{1.024} & \frac{1}{32.768} & \frac{1}{1.048.576}
\end{array}

Beispiel 2

\[\lim_{x\to-\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^x = +\infty \qquad \text{wegen } 0 < \frac{1}{2} < 1\]

\begin{array}{c|c|c|c|c}
x & -5 & -10 & -15 & -20 \\ \hline
f(x) & 32 & 1.024 & 32.768 & 1.048.576
\end{array}

Beispiel 3

\[\lim_{x\to-\infty} (-2)^x = \text{nicht existent} \qquad \text{wegen } -2 < 0\]

Grenzwertberechnung von A bis Z

Im Zusammenhang mit der Berechnung von Grenzwerten gibt es einige Kenntnisse, die man sich aneignen sollte. Diese werden in den folgenden Kapiteln ausführlich erläutert.

Grenzwerte <- Grundlagen
Rechenregeln für Grenzwerte  
Grenzwert einer Potenzfunktion \[\lim_{x\to\infty} x^n\]
Grenzwert einer Exponentialfunktion \[\lim_{x\to\infty} a^x\]
Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion \[\lim_{x \to \infty} \frac{a_n x^n + \dots + a_1 x + a_ 0}{b_m x^m + \dots + b_1 x + b_ 0}\]
Regel von l'Hospital \[\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{0}{0} \quad \text{oder } \frac{\infty}{\infty}\]
Anwendungen  
Stetigkeit einer Funktion \[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!