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Stetigkeit von Funktionen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was es mit der Stetigkeit von Funktionen auf sich hat.

Notwendiges Vorwissen: Einführung in die Grenzwertberechnung

Eine Funktion ist an einer Stelle \(x_0\) stetig, wenn

\[\qquad [1] \quad x_0 \text{ definiert ist}\]

\[\qquad [2] \quad \lim_{x \to x_0} \text{ existiert}\]

\[\qquad [3] \quad \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]

Anmerkung zu [1]

Wenn \(f\) in \(x_0\) nicht definiert ist, so ist es sinnlos zu fragen, ob \(f\) in \(x_0\) stetig ist.

Beispiel

\(f(x) = \frac{1}{x}\) ist in \(x_0 = 0\) weder stetig noch unstetig, sondern einfach nicht definiert.

Eine Funktion, die an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig ist, heißt stetige Funktion.

Beispiel (Fortsetzung)

\(f(x) = \frac{1}{x}\) ist in \(\mathbb{R}\backslash\{0\}\) stetig.

In der folgenden Tabelle sind die wichtigsten stetigen Funktionen zusammengefasst.

Liste stetiger Funktionen Beispiele
Rationale Funktionen* \(f(x) = a_n x^n + \cdots + a_1x + a_0\)
für \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\)
Wurzelfunktionen \(f(x) = \sqrt[n]{x^m}\)
für \(\mathbb{D} = \mathbb{R}^{+}_{0}\)
Trigonometrische Funktionen
(und ihre Umkehrfunktionen)
\(f(x) = \sin(x)\)
für \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\)
Exponentialfunktionen \(f(x) = a^x\)
für \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\) und \(a \in \mathbb{R}^{+}\backslash\{1\}\)
Logarithmusfunktionen \(f(x) = \log_a x\)
für \(\mathbb{D} = \mathbb{R}^{+}\) und \(a \in \mathbb{R}^{+}\backslash\{1\}\)

* Zu den rationalen Funktionen gehören sowohl ganzrationale (wie lineare Funktionen, quadratische Funktionen und Potenzfunktionen) als auch gebrochenrationalen Funktionen.

Neben den in der Tabelle genannten Funktionen sind auch alle Funktionen, die sich aus diesen Funktionen durch Grundrechenarten oder Komposition zusammensetzen lassen, in ihrem Definitionsbereich stetig sind. Außerdem sind differenzierbare Funktionen stetig.

Unstetigkeit von Funktionen

Eine Funktion ist an einer Stelle \(x_0\) unstetig, wenn

\[\qquad [1] \quad x_0 \text{ definiert ist}\]

und mindestens eine der beiden folgenden Aussagen zutrifft

\[\qquad [2] \quad \lim_{x \to x_0} \text{ existiert nicht}\]

\[\qquad [3] \quad \lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0)\]

Wir weisen darauf hin, dass eine in \(x_0\) unstetige Funktion nach unserer Definition in \(x_0\) definiert ist. In der mathematischen Literatur werden manchmal auch Definitionslücken als Unstetigkeitsstellen (= Stellen, an denen die Funktion nicht stetig ist) bezeichnet.

Aussage [2] veranschaulicht
\[\lim_{x \to x_0} f(x) \text{ existiert nicht}\] In der Abbildung lässt sich leicht erkennen, dass der linksseitige Grenzwert (Annäherung an den weißen Punkt) und der rechtsseitige Grenzwert (Annäherung an den schwarzen Punkt) nicht übereinstimmen. Der beidseitige Grenzwert \(x \to x_0\) existiert folglich nicht.

Aussage [3] veranschaulicht
\[\lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0)\] In der Abbildung lässt sich leicht erkennen, dass der Grenzwert (sowohl der links- als auch der rechtsseitige Grenzwert nähern sich dem weißen Punkt an) nicht dem Funktionswert (schwarzer Punkt) an dieser Stelle entspricht.

Ein Beispiel für eine unstetige Funktion ist die Signumfunktion.

Auf Stetigkeit prüfen

  1. Gehört \(x_0\) zur Definitionsmenge?
  2. Lässt sich der Grenzwert an der Stelle \(x_0\) berechnen?
  3. Stimmen Grenzwert und Funktionswert an der Stelle \(x_0\) überein?

Beispiel 1

Ist die abschnittsweise definierte Funktion

\(
f(x) =
\begin{cases}
-1 & \text{für } x < 0\\
0 & \text{für } x = 0\\
1 & \text{für } x > 0
\end{cases}
\)

an der Stelle \(x_0 = 0\) stetig?

1.) Prüfen, ob \(x_0\) zur Definitionsmenge gehört

\(x_0\) gehört zur Definitionsmenge.

2.) Prüfen, ob sich der Grenzwert an der Stelle \(x_0\) berechnen lässt

Linksseitiger Grenzwert

\(\lim\limits_{x \to 0-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0-} (-1) = -1\)

Rechtsseitiger Grenzwert

\(\lim\limits_{x \to 0+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0+} (1) = 1\)

An der Stelle \(x_0 = 0\) existiert kein Grenzwert,
da der linksseitige vom rechtsseitigen Grenzwert abweicht.

\(\Rightarrow\) Die Funktion ist an der Stelle \(x_0 = 0\) unstetig.

Beispiel 2

Ist die abschnittsweise definierte Funktion

\(
f(x) =
\begin{cases}
x^2 & \text{für } x \neq 0\\
1 & \text{für } x = 0
\end{cases}
\)

an der Stelle \(x_0 = 0\) stetig?

1.) Prüfen, ob \(x_0\) zur Definitionsmenge gehört

\(x_0\) gehört zur Definitionsmenge.

2.) Prüfen, ob sich der Grenzwert an der Stelle \(x_0\) berechnen lässt

Linksseitiger Grenzwert

\(\lim\limits_{x \to 0-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0-} (x^2) = 0\)

Rechtsseitiger Grenzwert

\(\lim\limits_{x \to 0+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0+} (x^2) = 0\)

Beidseitiger Grenzwert

\(\lim\limits_{x \to 0} f(x) = \lim\limits_{x \to 0-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0+} f(x) = 0\)

3.) Prüfen, ob Grenzwert und Funktionswert an der Stelle \(x_0\) übereinstimmen

Grenzwert: \(\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 0\)

Funktionswert: \(f(x_0) = f(0) = 1\)

\(\Rightarrow\) Die Funktion ist an der Stelle \(x_0 = 0\) unstetig,
      da Grenzwert und Funktionswert an dieser Stelle nicht übereinstimmen.

Beispiel 3

Ist die Funktion

\(
f(x) = x^3
\)

an der Stelle \(x_0 = 0\) stetig?

1.) Prüfen, ob \(x_0\) zur Definitionsmenge gehört

\(x_0\) gehört zur Definitionsmenge.

2.) Prüfen, ob sich der Grenzwert an der Stelle \(x_0\) berechnen lässt

Linksseitiger Grenzwert

\(\lim\limits_{x \to 0-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0-} (x^3) = 0\)

Rechtsseitiger Grenzwert

\(\lim\limits_{x \to 0+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0+} (x^3) = 0\)

Beidseitiger Grenzwert

\(\lim\limits_{x \to 0} f(x) = \lim\limits_{x \to 0-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0+} f(x) = 0\)

3.) Prüfen, ob Grenzwert und Funktionswert an der Stelle \(x_0\) übereinstimmen

Grenzwert: \(\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 0\)

Funktionswert: \(f(x_0) = f(0) = 0\)

\(\Rightarrow\) Da Grenzwert und Funktionswert übereinstimmen,
      ist die Funktion an der Stelle \(x_0 = 0\) stetig.

Grenzwertberechnung von A bis Z

Im Zusammenhang mit der Berechnung von Grenzwerten gibt es einige Kenntnisse, die man sich aneignen sollte. Diese werden in den folgenden Kapiteln ausführlich erläutert.

Grenzwerte <- Grundlagen
Rechenregeln für Grenzwerte  
Grenzwert einer Potenzfunktion \[\lim_{x\to\infty} x^n\]
Grenzwert einer Exponentialfunktion \[\lim_{x\to\infty} a^x\]
Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion \[\lim_{x \to \infty} \frac{a_n x^n + \dots + a_1 x + a_ 0}{b_m x^m + \dots + b_1 x + b_ 0}\]
Regel von l'Hospital \[\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{0}{0} \quad \text{oder } \frac{\infty}{\infty}\]
Anwendungen  
Stetigkeit einer Funktion \[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!