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Komplexe Zahlen dividieren

Im Hauptkapitel zu diesem Thema haben wir definiert, was man unter komplexen Zahlen versteht. In diesem Kapitel geht es um die Division von komplexen Zahlen.

Bevor wir uns jedoch mit der Division von komplexen Zahlen beschäftigen, müssen wir uns anschauen, was es mit der komplex Konjugierten auf sich hat.

Komplex Konjugierte

Gegeben ist eine komplexe Zahl \(z\)

\(z = x + y \cdot i\)

dann ist ihre komplex Konjugierte \(\bar{z}\) definiert durch

\(\bar{z} = x - y \cdot i\)

Die konjugiert komplexe Zahl \(\bar{z}\) einer komplexen Zahl \(z\) erhält man durch das Vertauschen des Vorzeichens des Imaginärteils.

Graphisch entspricht das der Spiegelung von \(z\) an der reellen Achse der komplexen Zahlenebene.

Mit Hilfe der komplex Konjugierten kann man den reziproken Wert \(1/z\) einer komplexen Zahl berechnen.

\[\frac{1}{z} = \frac{1}{z} \cdot \frac{\bar{z}}{\bar{z}} = \frac{\bar{z}}{z \cdot \bar{z}} = \frac{x - y \cdot i}{x^2 + y^2} \]

Außerdem können wir mit Hilfe der komplex Konjugierten den Betrag (d.h. die Länge des Vektors) einer komplexen Zahl berechnen.

\(|z|^2 = z \cdot \bar{z} = (x + y \cdot i) \cdot (x - y \cdot i) = x^2 - xyi + xyi - y^2i^2 = x^2 + y^2\)

\(|z| = \sqrt{x^2 + y^2}\)

Komplexe Zahlen dividieren - Definition

Da wir jetzt wissen, wie man mit der komplex Konjugierten rechnet, können wir uns endlich anschauen, wie man komplexe Zahlen dividiert.

Um komplexe Zahlen zu dividieren, bedient man sich eines Tricks. Komplexe Zahlen werden dividiert, indem man den Zähler und den Nenner mit der komplex Konjugierten des Nenners multipliziert.

\[\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1}{z_2} \cdot \frac{\bar{z_2}}{\bar{z_2}}\]

Komplexe Zahlen dividieren - Beispiele

\[\frac{4 + 3i}{2 + 2i} = \frac{4 + 3i}{2 + 2i} \cdot \frac{2 - 2i}{2 - 2i} = \frac{8 - 8i + 6i - 6i^2}{4 - 4i + 4i - 4i^2} = \frac{14 - 2i}{8} = 1,75 - 0,25i\]

Im nächsten Beispiel sparen wir uns, den Nenner auszumultiplizieren, da wir ja das Produkt einer komplexen Zahl mit ihrer komplex Konjugierten bereits kennen.

\(z \cdot \bar{z} = (x + y \cdot i) \cdot (x - y \cdot i) = x^2 - xyi + xyi - y^2i^2 = x^2 + y^2\)

Das zweite Bespiel lautet deshalb

\[\frac{5 + 2i}{3 + 4i} = \frac{5 + 2i}{3 + 4i} \cdot \frac{3 - 4i}{3 - 4i} = \frac{15 - 20i + 6i -8i^2}{3^2 + 4^2} = \frac{23 - 14i}{25} = \frac{23}{25} - \frac{14}{25}i\]

Wir können festhalten, dass komplexe Zahlen dividieren gar nicht so schwer ist, wenn man erstmal ein paar Aufgaben bewältigt hat. Weiterhin viel Spaß beim Üben!

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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