Lineare Ungleichungen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was lineare Ungleichungen sind und wie man sie löst. Dabei beschränken wir uns auf linearen Ungleichungen mit einer Variable.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Ungleichung?
Definition
Eine Ungleichung, die sich durch Äquivalenzumformungen in eine der Formen
$ax + b < 0$$ax + b > 0$$ax + b \leq 0$$ax + b \geq 0$
bringen lässt, heißt lineare Ungleichung mit einer Variable.
Tipp: Wir können lineare Ungleichungen mit einer Variable daran erkennen, dass die Variable nur in der 1. Potenz auftritt – also kein $x^2$, $x^3$, … enthalten.
Anleitung
Ungleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen
Lösungsmenge aufschreiben
zu 1)
Äquivalenzumformungen
Terme auf beiden Seiten der Ungleichung zusammenfassen
Denselben Term auf beiden Seiten der Ungleichung addieren/subtrahieren
Beide Seiten der Ungleichung mit derselben positiven* Zahl multiplizieren
Beide Seiten der Ungleichung durch dieselbe positive* Zahl dividieren
* Bei der Multiplikation bzw. Division mit einer negativen Zahl müssen wir das Ungleichungszeichen umdrehen.
zu 2)
Die Lösungsmenge geben wir als Intervall an. Dabei gibt es zwei verschiedene Schreibweisen.
Beispiele
$$ x - 5 < 8 $$
Ungleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen
$$ x - 5 < 8 $$
$$ x -5 {\color{red}\:+\:5} < 8 {\color{red}\:+\:5} $$
$$ x < 13 $$
Lösungsmenge aufschreiben
Es gibt zwei mögliche Schreibweisen:
$$ \mathbb{L} = \left]-\infty;13\right[ $$
oder
$$ \mathbb{L} = \left(-\infty;13\right) $$
$$ x - 3 \leq 3 (x-1) + 5 $$
Ungleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen
Ausmultiplizieren
$$ x - 3 \leq {\color{red}3} (x-1) + 5 $$
$$ x - 3 \leq {\color{red}3} \cdot x + {\color{red}3} \cdot (-1) + 5 $$
$$ x - 3 \leq 3x - 3 + 5 $$
Zusammenfassen
$$ x - 3 \leq 3x + 2 $$
Ungleichung nach $x$ auflösen
$$ x {\color{red}\:-\:3x} - 3 \leq 3x {\color{red}\:-\:3x} + 2 $$
$$ -2x - 3 \leq 2 $$
$$ -2x - 3 {\color{red}\:+\:3} \leq 2 {\color{red}\:+\:3} $$
$$ -2x \leq 5 $$
Um die Lösung zu erhalten, müssen wir durch $-2$ dividieren.
Zur Erinnerung: Bei der Division durch eine negative Zahl dreht sich das Ungleichheitszeichen um!
$$ \frac{-2x}{{\color{red}-2}} \geq \frac{5}{{\color{red}-2}} $$
$$ x \geq \frac{5}{-2} $$
oder in Dezimalschreibweise
$$ x \geq -2{,}5 $$
Lösungsmenge aufschreiben
Es gibt zwei mögliche Schreibweisen:
$$ \mathbb{L} = \left[-2{,}5;\infty\right[ $$
oder
$$ \mathbb{L} = \left[-2{,}5;\infty\right) $$
