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Quadratische Ungleichungen

In diesem Kapitel lernst du, wie man quadratische Ungleichungen löst.

Bei einer quadratischen Ungleichung handelt es sich um eine Ungleichung zweiten Grades. "Zweiter Grad" bedeutet, dass die Variable \(x\) bis zur zweiten Potenz - also \(x^2\) - vorkommt.

Beispiele für quadratische Ungleichungen

\(x^2 - 5 < 8\)

\(7x + 5 \geq 3x^2 - 4\)

\(x^2 - 3 \leq 3 (x-1) + 5\)

Normalformen quadratischer Ungleichungen

  • \(ax^2 + bx + c < 0\)
  • \(ax^2 + bx + c > 0\)
  • \(ax^2 + bx + c \leq 0\)
  • \(ax^2 + bx + c \geq 0\)

Jede quadratische Ungleichung lässt sich in eine der obigen Normalformen umformen.

Um Ungleichungen in Normalform zu bringen, dürfen wir...

  • auf beiden Seiten der Ungleichung eine Zahl addieren/subtrahieren
  • beide Seiten der Ungleichung mit einer Zahl multiplizieren bzw. durch eine Zahl dividieren
    Wichtig: Multipliziert/dividiert man die Ungleichung mit einer negativen Zahl,
                   dreht sich das Ungleichheitszeichen um!

Im Folgenden gehen wir davon aus, dass die gegebene Ungleichung in Normalform vorliegt.

Quadratischen Ungleichungen lösen

Vorgehensweise

  1. Quadratische Gleichung lösen
  2. Potenzielle Lösungsintervalle aufstellen
  3. Überprüfen, welche Lösungsintervalle zur Lösung gehören

zu 1.)

Wir behandeln die Ungleichung als Gleichung, indem wir das Ungleichheitszeichen durch ein Gleichheitszeichen (\(=\)) ersetzen. Nach der Gestalt der quadratischen Gleichung lassen sich folgende vier Fälle unterscheiden:

  1. \(ax^2 = 0\)
  2. \(ax^2 + c = 0\)
  3. \(ax^2 + bx = 0\)
  4. \(ax^2 + bx + c = 0\)

zu 2.)

Eine quadratische Gleichung besitzt entweder keine Lösung, eine Lösung oder zwei Lösungen.

Wenn es keine Lösung gibt, lautet die Lösung der Ungleichung: \(\mathbb{L} = \{\}\).

Wenn es eine Lösung (\(x_1\)) gibt, lauten die potenziellen Lösungsintervalle:

\(\mathbb{L}_1 = ]-\infty; {\color{red}x_1[}\) und \(\mathbb{L}_2 = {\color{red}]x_1}; \infty[\),
wenn die Ungleichung ein \({\color{red}>}\) (Größerzeichen) oder \({\color{red}<}\) (Kleinerzeichen) enthält

\(\mathbb{L}_1 = \: ]-\infty; {\color{green}x_1]}\) und \(\mathbb{L}_2 = {\color{green}[x_1}; \infty[\),
wenn die Ungleichung ein \({\color{green}\geq}\) (Größergleichzeichen) oder \({\color{green}\leq}\) (Kleinergleichzeichen) enthält

Wenn es zwei Lösungen (\(x_1\) und \(x_2\)) gibt, lauten die potenziellen Lösungsintervalle:

\(\mathbb{L}_1 = ]-\infty; {\color{red}x_1[}\), \(\mathbb{L}_2 = {\color{red}]x_1}; {\color{red}x_2[}\) und \(\mathbb{L}_3 = {\color{red}]x_2}; \infty[\),
wenn die Ungleichung ein \({\color{red}>}\) (Größerzeichen) oder \({\color{red}<}\) (Kleinerzeichen) enthält

\(\mathbb{L}_1 = \: ]-\infty; {\color{green}x_1]}\), \(\mathbb{L}_2 = {\color{green}[x_1}; {\color{green}x_2]}\) und \(\mathbb{L}_3 = {\color{green}[x_2}; \infty[\),
wenn die Ungleichung ein \({\color{green}\geq}\) (Größergleichzeichen) oder \({\color{green}\leq}\) (Kleinergleichzeichen) enthält

zu 3.)

Um herauszufinden, welche Intervalle zur Lösung gehören, setzt man aus jedem Intervall eine Zahl in die Ungleichung ein. Ist die Ungleichung erfüllt, gehört das jeweilige Intervall zur Lösung.
Hinweis: Die Intervallgrenzen eignen sich nicht zum Einsetzen in die Ungleichung!

Die Lösung der Ungleichung ist die Vereingungsmenge der gültigen Lösungsintervalle.

1. Fall: \(ax^2 = 0\)

Gleichungen vom Typ \(ax^2 = 0\) besitzen als einzige Lösung die Null.

Beispiel 1

\(4x^2 {\color{red}\:>\:} 0\)

1.) Quadratische Gleichung lösen

\(4x^2 = 0 \qquad \rightarrow x_1 = 0\)

2.) Potenzielle Lösungsintervalle aufstellen

\(\mathbb{L}_1 = \: ]-\infty;{\color{red}0[}\) und \(\mathbb{L}_2 = {\color{red}]0}; \infty[\)

3.) Überprüfen, welche Lösungsintervalle zur Lösung gehören

Aus dem 1. Intervall \(\mathbb{L}_1 = \: ]-\infty; 0[\) setzen wir \({\color{maroon}-1}\) in die Ungleichung ein:
\(4x^2 > 0\)
\(4 \cdot ({\color{maroon}-1})^2 > 0 \qquad \rightarrow 4 > 0 \quad{\color{green}\checkmark}\)

Aus dem 2. Intervall \(\mathbb{L}_2 = \: ]0; \infty[\) setzen wir \({\color{maroon}1}\) in die Ungleichung ein:
\(4x^2 > 0\)
\(4 \cdot {\color{maroon}1}^2 > 0 \phantom{(-)}\qquad \rightarrow 4 > 0 \quad{\color{green}\checkmark}\)

Die Lösung der Ungleichung ist demnach
\(\mathbb{L} = \mathbb{L}_1 \cup \mathbb{L}_2 = ]-\infty; 0[ \:\cup\: ]0; \infty[\)

Beispiel 2

\(-3x^2 {\color{green}\:\leq\:} 0\)

1.) Quadratische Gleichung lösen

\(-3x^2 = 0 \qquad \rightarrow x_1 = 0\)

2.) Potenzielle Lösungsintervalle aufstellen

\(\mathbb{L}_1 = \: ]-\infty; {\color{green}0]}\) und \(\mathbb{L}_2 = {\color{green}[0}; \infty[\)

3.) Überprüfen, welche Lösungsintervalle zur Lösung gehören

Aus dem 1. Intervall \(\mathbb{L}_1 = \: ]-\infty; 0]\) setzen wir \({\color{maroon}-1}\) in die Ungleichung ein:
\(-3x^2 \leq 0\)
\(-3 \cdot ({\color{maroon}-1})^2 \leq 0 \qquad \rightarrow -3 \leq 0 \quad{\color{green}\checkmark}\)

Aus dem 2. Intervall \(\mathbb{L}_2 = \: [0; \infty[\) setzen wir \({\color{maroon}1}\) in die Ungleichung ein:
\(-3x^2 \leq 0\)
\(-3 \cdot {\color{maroon}1}^2 \leq 0 \phantom{(-)}\qquad \rightarrow -3 \leq 0 \quad{\color{green}\checkmark}\)

Die Lösung der Ungleichung ist demnach
\(\mathbb{L} = \mathbb{L}_1 \cup \mathbb{L}_2 = ]-\infty; 0] \:\cup\: [0; \infty[ = \mathbb{R}\)

2. Fall: \(ax^2 + c = 0\)

Vorgehensweise

  1. Quadratische Gleichung lösen
    1.1 Gleichung nach \(x^2\) auflösen
    1.2 Wurzel ziehen
  2. Potenzielle Lösungsintervalle aufstellen
  3. Überprüfen, welche Lösungsintervalle zur Lösung gehören

Beispiel 1

\(x^2 - 9 {\color{green}\:\geq\:} 0\)

1.1) Gleichung nach \(x^2\) auflösen

\(x^2 - 9 = 0 \qquad |{\color{gray}+9}\)

\(x^2 - 9 {\color{gray}\:+\:9} = {\color{gray}+9}\)

\(x^2 = 9\)

1.2) Wurzel ziehen

\(x^2 = 9 \qquad |\sqrt{\phantom{9}}\)

\(x = \pm \sqrt{9}\)

\(x = \pm 3\)

\(\Rightarrow x_1 = -3\)

\(\Rightarrow x_2 = 3\)

2.) Potenzielle Lösungsintervalle aufstellen

\(\mathbb{L}_1 = \: ]-\infty; {\color{green}-3]}\), \(\mathbb{L}_2 = {\color{green}[-3};{\color{green}3]}\) und \(\mathbb{L}_3 = {\color{green}[3}; \infty[\)

3.) Überprüfen, welche Lösungsintervalle zur Lösung gehören

Aus dem 1. Intervall \(]-\infty;-3]\) setzen wir \({\color{maroon}-4}\) in die Ungleichung ein:
\(x^2 - 9 \geq 0\)
\(({\color{maroon}-4})^2 - 9 \geq 0 \qquad \rightarrow 7 \geq 0 \quad{\color{green}\checkmark}\)

Aus dem 2. Intervall \([-3;3]\) setzen wir \({\color{maroon}0}\) in die Ungleichung ein:
\(x^2 - 9 \geq 0\)
\({\color{maroon}0}^2 - 9 \geq 0 \phantom{(-)}\qquad \rightarrow -9 \geq 0 \quad{\color{red}\times}\)

Aus dem 3. Intervall \([3;\infty[\) setzen wir \({\color{maroon}4}\) in die Ungleichung ein:
\(x^2 - 9 \geq 0\)
\({\color{maroon}4}^2 - 9 \geq 0 \phantom{(-)}\qquad \rightarrow 7 \geq 0 \quad{\color{green}\checkmark}\)

Die Lösung der Ungleichung ist demnach
\(\mathbb{L} = \mathbb{L}_1 \cup \mathbb{L}_3 = ]-\infty;-3] \:\cup\: [3;\infty[\)

Beispiel 2

\(2x^2 + 8 {\color{red}\:<\:} 0\)

1.1) Gleichung nach \(x^2\) auflösen

\(2x^2 + 8 = 0 \qquad |{\color{gray}-8}\)

\(2x^2 + 8 {\color{gray}\:-\:8} = {\color{gray}-8}\)

\(2x^2 = -8 \qquad |:{\color{gray}2}\)

\(\frac{2x^2}{{\color{gray}2}} = \frac{-8}{{\color{gray}2}}\)

\(x^2 = -4\)

1.2) Wurzel ziehen

\(x^2 = -4 \qquad |\sqrt{\phantom{9}}\)

\(x = \pm \sqrt{-4}\)

Die Wurzel einer negativen Zahl ist (in \(\mathbb{R}\)) nicht definiert!
\(\Rightarrow\) Es gibt keine Lösungen, d.h. die Lösungsmenge ist leer: \(\mathbb{L} = \{\}\).

3. Fall: \(ax^2 + bx = 0\)

Vorgehensweise

  1. Quadratische Gleichung lösen
    1.1 \(x\) ausklammern
    1.2 Faktoren gleich Null setzen
  2. Potenzielle Lösungsintervalle aufstellen
  3. Überprüfen, welche Lösungsintervalle zur Lösung gehören

zu 1.1)

siehe Kapitel Ausklammern

zu 1.2)

Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist (> Satz vom Nullprodukt).

Beispiel 1

\(x^2 + 9x {\color{red}\:>\:} 0\)

1.1) \(x\) ausklammern

\(x \cdot (x + 9) = 0\)

1.2) Faktoren gleich Null setzen

\(\underbrace{x\vphantom{()}}_{\text{1. Faktor}} \cdot \underbrace{(x+9)}_{\text{2. Faktor}} = 0\)

1. Faktor

\(x = 0\)

\(\Rightarrow x_1 = 0\)

2. Faktor

\(x + 9 = 0 \qquad |{\color{gray}-9}\)

\(x + 9 {\color{gray}\:-\:9} = {\color{gray}-9}\)

\(x = -9\)

\(\Rightarrow x_2 = -9\)

2.) Potenzielle Lösungsintervalle aufstellen

\(\mathbb{L}_1 = ]-\infty;{\color{red}-9[}\), \(\mathbb{L}_2 = {\color{red}]-9};{\color{red}0[}\) und \(\mathbb{L}_3 = {\color{red}]0};\infty[\)

3.) Überprüfen, welche Lösungsintervalle zur Lösung gehören

Aus dem 1. Intervall \(]-\infty;-9[\) setzen wir \({\color{maroon}-10}\) in die Ungleichung ein:
\(x^2 + 9x > 0\)
\(({\color{maroon}-10})^2 + 9 \cdot ({\color{maroon}-10}) > 0 \qquad \rightarrow 10 > 0 \quad{\color{green}\checkmark}\)

Aus dem 2. Intervall \(]-9;0[\) setzen wir \({\color{maroon}-1}\) in die Ungleichung ein:
\(x^2 + 9x > 0\)
\(({\color{maroon}-1})^2 + 9 \cdot ({\color{maroon}-1}) > 0 \phantom{00}\qquad \rightarrow -8 > 0 \quad{\color{red}\times}\)

Aus dem 3. Intervall \(]0;\infty[\) setzen wir \({\color{maroon}1}\) in die Ungleichung ein:
\(x^2 + 9x > 0\)
\({\color{maroon}1}^2 + 9 \cdot {\color{maroon}1} > 0 \phantom{(-0)(-0)}\qquad \rightarrow 10 > 0 \quad{\color{green}\checkmark}\)

Die Lösung der Ungleichung ist demnach
\(\mathbb{L} = \mathbb{L}_1 \cup \mathbb{L}_3 = ]-\infty;-9[ \:\cup\: ]0;\infty[\)

Beispiel 2

\(-2x^2 + 4x {\color{green}\:\leq\:} 0\)

1.1) \(x\) ausklammern

\(x \cdot (-2x + 4) = 0\)

1.2) Faktoren gleich Null setzen

\(\underbrace{x\vphantom{()}}_{\text{1. Faktor}} \cdot \underbrace{(-2x + 4)}_{\text{2. Faktor}} = 0\)

1. Faktor

\(x = 0\)

\(\Rightarrow x_1 = 0\)

2. Faktor

\(-2x + 4 = 0 \qquad |{\color{gray}-4}\)

\(-2x + 4 {\color{gray}\:-\:4} = {\color{gray}-4}\)

\(-2x = -4 \qquad |:({\color{gray}-2})\)

\(\frac{-2x}{{\color{gray}-2}} = \frac{-4}{{\color{gray}-2}}\)

\(x = 2\)

\(\Rightarrow x_2 = 2\)

2.) Potenzielle Lösungsintervalle aufstellen

\(\mathbb{L}_1 = \: ]-\infty;{\color{green}0]}\), \(\mathbb{L}_2 = {\color{green}[0};{\color{green}2]}\) und \(\mathbb{L}_3 = {\color{green}[2};\infty[\)

3.) Überprüfen, welche Lösungsintervalle zur Lösung gehören

Aus dem 1. Intervall \(]-\infty;0]\) setzen wir \({\color{maroon}-1}\) in die Ungleichung ein:
\(-2x^2 + 4x \leq 0\)
\(-2 \cdot ({\color{maroon}-1})^2 + 4 \cdot ({\color{maroon}-1}) \leq 0 \qquad \rightarrow -6 \leq 0 \quad{\color{green}\checkmark}\)

Aus dem 2. Intervall \([0;2]\) setzen wir \({\color{maroon}1}\) in die Ungleichung ein:
\(-2x^2 + 4x \leq 0\)
\(-2 \cdot {\color{maroon}1}^2 + 4 \cdot {\color{maroon}1} \leq 0 \phantom{(-)(-)}\qquad \rightarrow 2 \leq 0 \quad{\color{red}\times}\)

Aus dem 3. Intervall \([2;\infty[\) setzen wir \({\color{maroon}3}\) in die Ungleichung ein:
\(-2x^2 + 4x \leq 0\)
\(-2 \cdot {\color{maroon}3}^2 + 4 \cdot {\color{maroon}3} \leq 0 \phantom{(-)(-)}\qquad \rightarrow -6 \leq 0 \quad{\color{green}\checkmark}\)

Die Lösung der Ungleichung ist demnach
\(\mathbb{L} = \mathbb{L}_1 \cup \mathbb{L}_3 = ]-\infty;0] \:\cup\: [2;\infty[\)

4. Fall: \(ax^2 + bx + c = 0\)

Vorgehensweise

  1. Quadratische Gleichung lösen
  2. Potenzielle Lösungsintervalle aufstellen
  3. Überprüfen, welche Lösungsintervalle zur Lösung gehören

zu 1.)

Gleichungen dieses Typs löst man mit Hilfe der Mitternachtsformel oder der pq-Formel.

Beispiel

\(x^2 - 6x + 8 {\color{red}\:<\:} 0\)

1.) Quadratische Gleichung lösen

Der Ansatz zur Lösung der quadratischen Gleichung mit Hilfe der Mitternachtsformel lautet:

\[x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 2}{2}\]

Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind dementsprechend

\[x_1 = \frac{6 - 2}{2} = 2\]

\[x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4\]

2.) Potenzielle Lösungsintervalle aufstellen

\(\mathbb{L}_1 = \: ]-\infty;{\color{red}2[}\), \(\mathbb{L}_2 = {\color{red}]2};{\color{red}4[}\) und \(\mathbb{L}_3 = {\color{red}]4};\infty[\)

3.) Überprüfen, welche Lösungsintervalle zur Lösung gehören

Aus dem 1. Intervall \(]-\infty;2[\) setzen wir \({\color{maroon}1}\) in die Ungleichung ein:
\(x^2 - 6x + 8 < 0\)
\({\color{maroon}1}^2 - 6 \cdot {\color{maroon}1} + 8 < 0 \qquad \rightarrow 3 < 0 \quad{\color{red}\times}\)

Aus dem 2. Intervall \(]2;4[\) setzen wir \({\color{maroon}3}\) in die Ungleichung ein:
\(x^2 - 6x + 8 < 0\)
\({\color{maroon}3}^2 - 6 \cdot {\color{maroon}3} + 8 < 0 \qquad \rightarrow -1 < 0 \quad{\color{green}\checkmark}\)

Aus dem 3. Intervall \(]4;\infty[\) setzen wir \({\color{maroon}5}\) in die Ungleichung ein:
\(x^2 - 6x + 8 < 0\)
\({\color{maroon}5}^2 - 6 \cdot {\color{maroon}5} + 8 < 0 \qquad \rightarrow 3 < 0 \quad{\color{red}\times}\)

Die Lösung der Ungleichung ist demnach
\(\mathbb{L} = \mathbb{L}_2 = ]2;4[\)

Mehr zum Thema Ungleichungen

Im Zusammenhang mit Ungleichungen gibt es einige Aufgabenstellungen, die immer wieder abgefragt werden. Daher lohnt es sich, auch folgende Artikel durchzulesen.

  Beispiel
Lineare Ungleichungen
(mit einer Variablen)
\(10x - 8 \leq 3x + 4\)
Lineare Ungleichungssysteme
(mit einer Variablen)
\[\begin{align*}
2x - 4 &< 6 \\
3x + 5 &> 2
\end{align*}\]
Lineare Ungleichungen
(mit zwei Variablen)
\(5x - 3y > 10\)
Lineare Ungleichungssysteme
(mit zwei Variablen)
\[\begin{align*}
2x + y &\leq 12 \\
2x + 3y &\leq 18
\end{align*}\]
Quadratische Ungleichungen \(x^2 - x + 3\geq 4x - 5\)
Gebrochenrationale Ungleichungen \(\frac{1}{x +1} > 7\)
Betragsungleichungen \(|x + 1| < 3\)

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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