Produktregel

In diesem Kapitel schauen wir uns die Produktregel etwas genauer an.

Bei der Produktregel handelt es sich um eine Ableitungsregel, die immer dann anzuwenden ist, wenn zwei Funktionen durch ein Malzeichen (\(\cdot\)) getrennt sind.

Die Produktregel besagt

\(f(x) = g(x) \cdot h(x) \quad \rightarrow \quad f'(x) = {\color{red}g'(x)} \cdot h(x) + g(x) \cdot {\color{red}h'(x)}\)

Was zunächst vielleicht kompliziert aussieht, ist eigentlich ganz einfach:

  1. Ableitungen der beiden Teilfunktionen \(g(x)\) und \(h(x)\) berechnen
  2. Zwischenergebnisse in die Formel einsetzen

Um die folgenden Beispiele zu verstehen, sollte dir die Potenzregel bereits bekannt sein.

Beispiel 1

\(f(x) = x^2 \cdot x^3\)

\(f'(x) ={\color{red}2x} \cdot x^3 + x^2 \cdot {\color{red}3x^2} = 5x^4\)

Beispiel 2

\(g(x) = -2x^4 \cdot 3x^{-5}\)

\(g'(x) ={\color{red}-8x^3} \cdot 3x^{-5} +(-2x^4) \cdot {\color{red}\left(-15x^{-6}\right)} = -24x^{-2} + 30x^{-2} = 6x^{-2} \)

Hinweis: Selbstverständlich könnte man in den obigen Beispielen die Faktoren vor dem Ableiten gemäß den Potenzgesetzen zusammenfassen und sich so die Arbeit mit der Produktregel sparen. Zum Erlernen der Produktregel eignen sich diese "einfachen" Beispiele jedoch hervorragend. Normalerweise würde man diese Aufgaben also folgendermaßen (nur mit Hilfe der Potenzregel) berechnen:

Beispiel 1 (ohne Produktregel)

\(f(x) = x^2 \cdot x^3 = x^5 \quad \rightarrow \quad f'(x) = 5x^4\)

Beispiel 2 (ohne Produktregel)

\(g(x) = -2x^4 \cdot 3x^{-5} = -6x^{-1} \quad \rightarrow \quad g'(x) = 6x^{-2}\)

Produktregel bei mehr als zwei Termen

Die Produktregel kommt auch dann zum Einsatz, wenn mehr als zwei Funktionen durch ein Malzeichen miteinander verknüpft sind.

Die Formel für drei Faktoren lautet

\(f(x) = u(x) \cdot v(x) \cdot w(x)\)

\(f'(x) ={\color{red}u'(x)} \cdot v(x) \cdot w(x) + u(x) \cdot {\color{red}v'(x)} \cdot w(x) + u(x) \cdot v(x) \cdot {\color{red}w'(x)}\)

Nach demselben Prinzip sind auch die Formeln für mehr als drei Faktoren aufgebaut.

Produktregel - Video

In diesem Mathe Video (3:27 min) wird dir die Anwendung der Produktregel anhand einer Potenzfunktion gezeigt.

Ableitungsregeln

Neben der Produktregel gibt es noch weitere Ableitungsregeln, die du beherrschen solltest.

Potenzregel \(f(x) = x^n\) \(f'(x) = n \cdot x^{n-1}\)
Faktorregel \(f(x) = c \cdot g(x)\) \(f'(x) = c \cdot g'(x)\)
Summenregel \(f(x) = g(x) + h(x)\) \(f'(x) = g'(x) + h'(x)\)
Differenzregel \(f(x) = g(x) - h(x)\) \(f'(x) = g'(x) - h'(x)\)
Produktregel \(f(x) = g(x) \cdot h(x)\) \(f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)\)
Quotientenregel \(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\) \(f'(x)=\frac{h(x) \cdot g'(x) - g(x) \cdot h'(x)}{\left[h(x)\right]^2}\)
Kettenregel \(f(x) = g(h(x))\) \(f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)\)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!