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Funktionsgleichung bestimmen

In diesem Kapitel werden wir die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion bestimmen:

Allgemeine Form

\(f(x) = ax^2 + bx + c\)

Neben der allgemeinen Form gibt es noch eine weitere Form, die uns hier beschäftigen wird:

Scheitelpunktform

\(f(x) = a(x-{\color{red}d})^2+{\color{blue}e}\)

Aus der Scheitelpunktform lässt sich der Scheitelpunkt leicht ablesen: \(S({\color{red}d}|{\color{blue}e})\).

In manchen Aufgaben ist die Funktionsgleichung gesucht. In Abhängigkeit von den gegebenen Informationen in der Aufgabenstellung können wir folgende vier Fälle unterscheiden:

  • 3 Punkte
  • Scheitel und ein weiterer Punkt
  • Punkte und Zusatzinformationen
  • Graph der Funktion

Funktionsgleichung mit Hilfe von 3 Punkten bestimmen

Gegeben sind die Punkte \(P_1(-1|-4)\), \(P_2(1|4)\) und \(P_3(2,5|-0,5)\).

1.) Punkte nacheinander in allgemeine Form einsetzen

Im ersten Schritt setzen wir die Punkte \(P_1\), \(P_2\) und \(P_3\) nacheinander in die allgemeine Form

\(f(x) = ax^2 + bx +c\)     [Vergiss nicht: \(y = f(x)\)]

ein. Auf diese Weise erhalten wir ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen:

\(\begin{array}{llrclclcl}
P({\color{red}x}|{\color{blue}y}): & & {\color{blue}y} & = & a\cdot {\color{red}x}^2 & + & b\cdot {\color{red}x} & + & c\\
&&&&&&&&\\
P_1({\color{red}-1}|{\color{blue}-4}): &I & {\color{blue}-4} & = & a\cdot ({\color{red}-1})^2 & + & b\cdot ({\color{red}-1}) & + & c\\
P_2({\color{red}1}|{\color{blue}4}): &II & {\color{blue}4} & = & a\cdot {\color{red}1}^2 & + & b\cdot {\color{red}1} & + & c\\
P_3({\color{red}2,5}|{\color{blue}-0,5}): &III & {\color{blue}-0,5} & = & a\cdot {\color{red}2,5}^2 & + & b\cdot {\color{red}2,5} & + & c
\end{array}\)

Zusammenrechnen

\(\begin{array}{lrcrcrcl}
I & a & - & b & + & c & = & -4\\
II & a & + & b & + & c & = & \phantom{-}4 \\
III & 6,25a & + & 2,5 b & + & c & = & -0,5
\end{array}\)

2.) Lineares Gleichungssystem lösen

Zur Lösung linearer Gleichungssysteme (LGS) bieten sich mehrere Verfahren an:

Im Studium löst man lineare Gleichungssysteme meist mit dem Gauß-Algorithmus.

Wir lösen das LGS mit Hilfe des Additionsverfahrens:

1.) Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst

Es bietet sich an, die Unbekannte \(c\) in der 1. Zeile zu eliminieren.

2.) Überlege, was du tun musst, damit die Unbekannte wegfällt

Um \(c\) in der 1. Zeile zu eliminieren, ziehen wir von der 1. Zeile die 2. Zeile ab.

\(\begin{array}{lrcrcrcl}
I & {\color{red}a} & {\color{red}-} & {\color{red}b} & {\color{red}+} & {\color{red}c} & = & {\color{red}-4}\\
II & {\color{blue}a} & + & {\color{blue}b} & + & {\color{blue}c} & = & \phantom{-}{\color{blue}4} \\
\end{array}\)

\(I - II: {\color{red}a} - {\color{blue}a} {\color{red} \: - \: b} - {\color{blue}b} {\color{red}\: + \: c} - {\color{blue}c} = {\color{red}-4} - {\color{blue}4}\)

Zusammenrechnen

\(I - II: -2b = -8\)

3.) Unbekannte berechnen

\(-2b = -8 \quad |:{\color{red}-2}\)

\[\frac{-2b}{{\color{red}-2}} = \frac{-8}{{\color{red}-2}}\]

\({\fcolorbox{Red}{}{\(b = 4\)}}\)

4.) Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst

Es bietet sich an, die Unbekannte \(c\) in der 2. Zeile zu eliminieren.

5.) Überlege, was du tun musst, damit die Unbekannte wegfällt

Um \(c\) in der 2. Zeile zu eliminieren, ziehen wir von der 2. Zeile die 3. Zeile ab.

\(\begin{array}{lrcrcrcl}
II & {\color{red}a} & {\color{red}+} & {\color{red}b} & {\color{red}+} & {\color{red}c} & = & \phantom{-}{\color{red}4} \\
III & {\color{blue}6,25a} & + & {\color{blue}2,5b} & + & {\color{blue}c} & = & {\color{blue}-0,5}
\end{array}\)

\(II - III: {\color{red}a} - {\color{blue}6,25a} {\color{red}\: + \: b} - {\color{blue}2,5b} {\color{red}\: + \: c} - {\color{blue}c} = {\color{red}4} - ({\color{blue}-0,5})\)

Zusammenrechnen

\(II - III: - 5,25a - 1,5b = 4,5\)

6.) Unbekannte berechnen

Wir setzen \(b = {\color{red}4}\) in \(II - III\) ein, um \(a\) zu berechnen.

\(-5,25a - 1,5 \cdot {\color{red}4} = 4,5\)

Zusammenrechnen und auflösen nach \(a\)

\(-5,25a - 6 = 4,5 \quad |{\color{red}+6}\)

\(-5,25a - 6 {\color{red}\: + \: 6} = 4,5 {\color{red}\: + \: 6}\)

\(-5,25a = 10,5 \quad |:{\color{orange}-5,25}\)

\[\frac{-5,25a}{{\color{orange}-5,25}} = \frac{10,5}{{\color{orange}-5,25}}\]

\({\fcolorbox{Red}{}{\(a = -2\)}}\)

7.) Letzte Unbekannte berechnen

Um die letzte Unbekannte \(c\) zu berechnen, müssen wir \(a = {\color{red}-2}\) und \(b = {\color{blue}4}\) in eine der drei Gleichungen einsetzen. Wir setzen die Werte in die 1. Gleichung

\(\begin{array}{lrcrcrcl}
I & a & - & b & + & c & = & -4\\
\end{array}\)

ein und erhalten

\({\color{red}-2} {\color{blue}\: - \: 4} + c = -4\)

Zusammenrechnen und auflösen nach \(c\)

\(-6 + c = -4 \quad |{\color{red}+6}\)

\(-6 {\color{red}\: + \: 6} + c = -4 {\color{red}\: + \: 6}\)

\({\fcolorbox{Red}{}{\(c = 2\)}}\)

Fazit

Die Lösungen des Gleichungssystems sind \(a = -2\), \(b = 4\) und \(c = 2\).

3.) Funktionsgleichung aufstellen

Jetzt können wir die berechneten Werte für \(a\), \(b\) und \(c\) in die allgemeine Form

\(f(x) = ax^2 + bx + c\)

einsetzen. Auf diese Weise erhalten wir

\(f(x) = -2x^2 + 4x + 2\)

Dabei handelt es sich um die gesuchte Funktionsgleichung der quadratischen Funktion.





In der Abbildung ist schön zu erkennen, dass die Punkte \(P_1(-1|-4)\), \(P_2(1|4)\) und \(P_3(2,5|-0,5)\) alle auf dem Graphen der Funktion \(f(x) = -2x^2+4x+2\) liegen.

Zusammenfassung
(3 Punkte gegeben)

  1. Punkte nacheinander in allgemeine Form einsetzen
  2. Lineares Gleichungssystem lösen
  3. Funktionsgleichung aufstellen

zu 2.)

Nur wenn das lineare Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt, lässt sich anschließend die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion aufstellen. Ansonsten gilt:

Fall 1: Unendlich viele Lösungen
\(\Rightarrow\) zwei Punkte sind identisch

Fall 2: Keine Lösung
\(\Rightarrow\) die drei Punkte liegen nicht auf einer Parabel

Funktionsgleichung mit Hilfe des Scheitels und weiterem Punkt bestimmen

Gegeben ist der Scheitelpunkt \(S(1|4)\) und der Punkt \(P(2,5|-0,5)\).

1.) Scheitelpunktform mit Hilfe des Scheitels aufstellen

Im ersten Schritt setzen wir \(S({\color{red}1}|{\color{blue}4})\) in die Scheitelpunktform

\(f(x) = a(x-{\color{red}d})^2+{\color{blue}e}\)     [Vergiss nicht: \(S({\color{red}d}|{\color{blue}e})\)]

ein und erhalten

\(f(x) = a(x-{\color{red}1})^2+{\color{blue}4}\)

2.) Punkt in Scheitelpunktform einsetzen

Jetzt setzen wir den Punkt \(P({\color{red}2,5}|{\color{blue}-0,5})\) in die Scheitelform

\(f(x) = a(x-1)^2+4\)      [Vergiss nicht: \(y = f(x)\)]

ein und erhalten

\({\color{blue}-0,5} = a({\color{red}2,5}-1)^2+4\)

3.) Gleichung nach dem Parameter \(a\) auflösen

\(-0,5 = a(2,5-1)^2 + 4\)

\(-0,5 = a(1,5)^2 + 4\)

\(-0,5 = 2,25a + 4 \quad |{\color{red}-2,25a}\)

\(-0,5 {\color{red}\: - \: 2,25a} = 2,25a {\color{red}\: - \: 2,25a} + 4\)

\(-0,5 -2,25a = 4 \quad |{\color{orange}+0,5}\)

\(-0,5 {\color{orange}\: + \: 0,5} -2,25a = 4 {\color{orange} \: + \: 0,5}\)

\(-2,25a = 4,5 \quad |:({\color{red}-2,25})\)

\[\frac{-2,25a}{{\color{red}-2,25}} = \frac{4,5}{{\color{red}-2,25}}\]

\({\fcolorbox{Red}{}{\(a = -2\)}}\)

4.) Funktionsgleichung aufstellen

Wenn wir \(S({\color{red}1}|{\color{blue}4})\) und \(a = {\color{orange}-2}\) in die Scheitelpunktform

\(f(x) = {\color{orange}a}(x-{\color{red}d})^2+{\color{blue}e}\)

einsetzen, erhalten wir als Ergebnis

\(f(x) = {\color{orange}-2}(x-{\color{red}1})^2+{\color{blue}4}\)

Damit sind wir am Ziel. Die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion ist bestimmt.




In der Abbildung ist schön zu erkennen, dass die Punkte \(S(1|4)\) und \(P(2,5|-0,5)\) auf dem Graphen der Funktion \(f(x) = -2(x-1)^2+4\) liegen.
Ausmultipliziert lautet die Funktionsgleichung \(f(x) = -2x^2+4x+2\).

Zusammenfassung
(Scheitel und weiterer Punkt gegeben)

  1. Scheitelpunktform mit Hilfe des Scheitels aufstellen
  2. Punkt in Scheitelpunktform einsetzen
  3. Gleichung nach dem Parameter \(a\) auflösen
  4. Funktionsgleichung aufstellen

zu 1.)

Manchmal ist der Scheitelpunkt nur indirekt gegeben.

Beispiel

"Die Parabel ist um 4 nach rechts und 3 nach oben verschoben."
\(\Rightarrow\) Der Scheitelpunkt liegt bei \((4|3)\).

zu 4.)

Soll das Ergebnis in allgemeiner Form \(f(x) = ax^2 + bx + c\) angegeben werden, muss man die Scheitelpunktform lediglich ausmultiplizieren. Ist das jedoch nicht extra verlangt, ist die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform ein vollkommen korrektes Ergebnis.

Funktionsgleichung mit Hilfe von Punkten und Zusatzinformationen bestimmen

In vielen Aufgabenstellungen sind Informationen, die uns bei dem Aufstellen der Funktionsgleichung helfen, im Text "versteckt". Schauen wir uns dazu einige Beispiele an:

  • "nach oben geöffnete Parabel"
    \(\Rightarrow\) positives Vorzeichen des Vorfaktors \(a\)
    \(\Longrightarrow\) \(+a\)
  • "nach unten geöffnete Parabel"
    \(\Rightarrow\) negatives Vorzeichen des Vorfaktors \(a\)
    \(\Longrightarrow\) \(-a\)

  • "nimmt nur positive Werte an"
    \(\Rightarrow\) Parabel verläuft immer über der \(x\)-Achse
    \(\Longrightarrow\) Parabel ist nach oben geöffnet (\(+a\))
    \(\Longrightarrow\) \(y\)-Koordinate des Scheitels größer 0
  • "nimmt nur negative Werte an"
    \(\Rightarrow\) Parabel verläuft immer unter der \(x\)-Achse
    \(\Longrightarrow\) Parabel ist nach unten geöffnet (\(-a\))
    \(\Longrightarrow\) \(y\)-Koordinate des Scheitels kleiner 0

  • "doppelte Nullstelle"
    Hat eine Parabel eine doppelte Nullstelle, dann ist diese der Scheitelpunkt.
    \(\Rightarrow\) Der Scheitelpunkt liegt auf der \(x\)-Achse (\(y\)-Koordinate = 0)

  • gegebene Punkte besitzen dieselbe \(y\)-Koordinate
    \(\Rightarrow\) Der Scheitel liegt bezüglich der \(x\)-Koordinate genau zwischen den beiden Punkten
          (Stichwort: Symmetrie von Parabeln)

Beispiel

Gesucht ist eine Parabel mit doppelter Nullstelle,
die durch die Punkte \(P_1(2|1)\) und \(P_2(4|1)\) verläuft.

Aus der Angabe lassen sich folgende Informationen herauslesen:

  • "doppelte Nullstelle"
    \(\Rightarrow\) Der Scheitelpunkt liegt auf der \(x\)-Achse (\(y_s\) = 0)

  • gegebene Punkte besitzen dieselbe \(y\)-Koordinate
    \(\Rightarrow\) Der Scheitel liegt bezüglich der \(x\)-Koordinate genau zwischen den beiden Punkten
           Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunktes ist demnach \(3\).
           (Begründung: \(x_s = \frac{1}{2} \cdot (2 + 4) = 3\).)

Letztlich können wir also aus der Aufgabenstellung den Scheitelpunkt \(S(3|0)\) herauslesen.

Nun gibt es zwei Möglichkeiten, die Funktionsgleichung der Parabel zu bestimmen:

  1. mit Hilfe der drei Punkte \(S\), \(P_1\) und \(P_2\) ein lineares Gleichungssystem aufstellen,
    um \(a\), \(b\) und \(c\) zu berechnen

  2. \(S\) und \(P_1\) (oder \(P_2\)) in die Scheitelpunktform einsetzen,
    um den Parameter \(a\) zu berechnen

Beide Verfahren wurde bereits in den vorherigen Abschnitt ausführlich erklärt!

Lösungsansatz mit Verfahren 1 (lineares Gleichungssystem)

\(\begin{array}{llrcl}
S\phantom{_{1}}({\color{red}3}|{\color{blue}0}): &I & {\color{blue}0} &= & a\cdot {\color{red}3}^2+b\cdot {\color{red}3}+c\\
P_1({\color{red}2}|{\color{blue}1}): &II & {\color{blue}1} &= & a\cdot {\color{red}2}^2+b\cdot {\color{red}2}+c\\
P_2({\color{red}4}|{\color{blue}1}): &III & {\color{blue}1} &= & a\cdot {\color{red}4}^2+b\cdot {\color{red}4}+c \end{array}\)

Zusammenrechnen

\(\begin{array}{lrcrcrcl}
I & 9a & + & 3b & + & c & = & 0\\
II & 4a & + & 2b & + & c & = & 1 \\
III & 16a & + & 4b & + & c & = & 1
\end{array}\)

Lösung des Gleichungssystems

\(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 9\)

Funktionsgleichung (in allgemeiner Form)

\(f(x) = x^2 -6x + 9\)

Lösungsansatz mit Verfahren 2 (Scheitelpunktform)

\(S({\color{red}3}|{\color{blue}0})\) in Scheitelpunktform einsetzen

\(f(x) = a(x-{\color{red}3})^2+{\color{blue}0}\)

\(P_1({\color{red}2}|{\color{blue}1})\) einsetzen

\({\color{blue}1} = a({\color{red}2}-3)^2+0\)

Gleichung nach \(a\) auflösen

\(a = 1\)

Funktionsgleichung (in Scheitelpunktform)

\(f(x) = 1(x-3)^2+0\) bzw. \(f(x) = (x-3)^2\)





In der Abbildung ist schön zu erkennen, dass die Punkte \(P_1(2|1)\), \(S(3|0)\) und \(P_2(4|1)\) auf dem Graphen der Funktion \(f(x) = x^2 - 6x + 9\) liegen.

Wenn man die Wahl zwischen Verfahren 1 und Verfahren 2 hat, sollte man sich für Verfahren 2 entscheiden, da kein Gleichungssystem gelöst werden muss und man sich so eine Menge Zeit spart. In vielen Aufgaben bietet sich aber sowieso nur eines der beiden Verfahren an.

Funktionsgleichung mit Hilfe des Graphen der Funktion bestimmen

Ist der Graph einer quadratischen Funktion (= Parabel) gegeben,
kann man die Funktionsgleichung auf folgende Arten bestimmen:

  1. drei beliebige Punkte ablesen,
    danach Verfahren 1 (Lineares Gleichungssystem) anwenden

  2. Scheitelpunkt und einen weiteren Punkt ablesen,
    danach Verfahren 2 (Scheitelpunktform) anwenden

  3. Funktionsgleichung direkt ablesen

Die ersten beiden Verfahren wurden bereits in den vorherigen Abschnitt ausführlich dargestellt.

Funktionsgleichung direkt ablesen

  1. Scheitelpunkt \(S\) ablesen
  2. Parameter \(a\) ablesen
  3. \(S\) und \(a\) in Scheitelpunktform einsetzen

zu 2.)

Der Parameter \(a\) lässt sich ablesen, indem man

  1. vom Scheitelpunkt eine Einheit nach rechts geht und
  2. abliest,
    wie weit man nach oben (\(\Rightarrow\) \(a\) ist positiv) oder
    nach unten (\(\Rightarrow\) \(a\) ist negativ)
    gehen muss.

Beispiel

Gegeben ist eine Parabel.

1.) Scheitelpunkt ablesen

\(S(2|1)\)

2.) Parameter \(a\) ablesen

Geht man vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so muss man drei Schritte nach oben gehen, bis man wieder auf dem Graphen ist.

Folglich gilt: \(a = 3\)

3.) \(S\) und \(a\) in Scheitelpunktform einsetzen

Wenn wir \(S({\color{red}2}|{\color{blue}1})\) und \(a = {\color{orange}3}\) in die Scheitelpunktform

\(f(x) = {\color{orange}a}(x-{\color{red}d})^2+{\color{blue}e}\)

einsetzen, erhalten wir als Ergebnis

\(f(x) = {\color{orange}3}(x-{\color{red}2})^2+{\color{blue}1}\)

oder ausmultipliziert

\(f(x) = 3x^2 - 12x + 13\)

In diesem Artikel hast du einige Möglichkeiten kennengelernt, um die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion zu bestimmen. Es ist immer hilfreich, wenn man sich zunächst aufschreibt, was laut Aufgabenstellung gegeben ist. Danach kannst du dann eines der Verfahren anwenden, die wir hier besprochen haben. Vergiss nicht: "Übung macht den Meister"!

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Mehr zu quadratischen Funktionen

Im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen gibt es einige Fragestellungen, die in Prüfungen immer wieder abgefragt werden. Aus diesem Grund empfiehlt es sich, die nachfolgenden Kapitel systematisch durchzuarbeiten. Viel Erfolg dabei!

Parabel zeichnen  
Parabel nach links oder rechts verschieben \(f(x) = (x-d)^2\)
Parabel nach oben oder unten verschieben \(f(x) = x^2 + c\)
Parabel strecken oder stauchen \(f(x) = ax^2\)
Punktprobe Liegt \(\text{P}\) auf \(\text{G}_f\)?
y-Achsenabschnitt berechnen \(x = 0\)
Nullstellen berechnen \(y = 0\)
Funktionsgleichung bestimmen \(f(x) = \dotsc\)
Quadratische Ergänzung \(x^2 +px + \left(\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2\)
Scheitelpunktform berechnen \(f(x) = a(x-d)^2 + e\)
Scheitelpunkt berechnen \(S(x_s|y_s)\)
Faktorisierte Form \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)
Lagebeziehungen  
Lagebeziehung Parabel-Parabel  
Lagebeziehung Parabel-Gerade  
Umkehrfunktion  
Umkehrfunktion bilden  
Aufgaben mit Lösungen  
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Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!