Wurzeln subtrahieren

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Subtrahieren von Wurzeln.

Es empfiehlt sich, zunächst den Einführungsartikel zum Thema Wurzeln zu lesen.

Voraussetzung

Es können nur Wurzeln mit

  • gleichem Radikanden und
  • gleichem Wurzelexponenten

subtrahiert werden.

Vorgehensweise

Zwei Wurzeln werden subtrahiert,
indem man ihre Koeffizienten (hier: \(a\) und \(b\)) subtrahiert.

\(a{\color{green}\sqrt[n]{x}} - b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a - b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\)

Falls der Koeffizient gleich 1 ist, wird er meist weggelassen.
Statt \(1 \cdot \sqrt[n]{x}\) schreibt man also einfach \(\sqrt[n]{x}\).

Beispiele mit Quadratwurzeln (Wurzelexponent = 2)

\(6{\color{green}\sqrt{2}} - 3{\color{green}\sqrt{2}} = (6-3){\color{green}\sqrt{2}} = 3{\color{green}\sqrt{2}}\)

\(3{\color{green}\sqrt{5}} - {\color{green}\sqrt{5}} = (3-1){\color{green}\sqrt{5}} = 2{\color{green}\sqrt{5}}\)

\({\color{green}\sqrt{3}} - {\color{green}\sqrt{3}} = (1-1){\color{green}\sqrt{3}} = 0\)

\(6{\color{green}\sqrt{6}} - 3{\color{green}\sqrt{6}} - 2{\color{green}\sqrt{6}} = (6-3-2){\color{green}\sqrt{6}} = {\color{green}\sqrt{6}}\)

Beispiele mit höheren Wurzelexponenten

\(6{\color{green}\sqrt[3]{2}} - 3{\color{green}\sqrt[3]{2}} = (6-3){\color{green}\sqrt[3]{2}} = 3\)

\(3{\color{green}\sqrt[7]{5}} - {\color{green}\sqrt[7]{5}} = (3-1){\color{green}\sqrt[7]{5}} = 2\)

\({\color{green}\sqrt[5]{3}} - {\color{green}\sqrt[5]{3}} = (1-1){\color{green}\sqrt[5]{3}} = 0\)

\(6{\color{green}\sqrt[4]{6}} - 3{\color{green}\sqrt[4]{6}} - 2{\color{green}\sqrt[4]{6}} = (6-3-2){\color{green}\sqrt[4]{6}} = {\color{green}\sqrt[4]{6}}\)

Wann das Subtrahieren nicht möglich ist

In folgenden drei Fällen ist ein weiteres Zusammenfassen der Wurzeln nicht möglich:

a) unterschiedlicher Radikand

Beispiele

\(\sqrt[4]{{\color{red}3}} - \sqrt[4]{{\color{red}2}}\)

\(\sqrt[n]{{\color{red}a}} - \sqrt[n]{{\color{red}b}}\)

b) unterschiedlicher Wurzelexponent

Beispiele

\(\sqrt[{\color{red}5}]{3} - \sqrt[{\color{red}4}]{3}\)

\(\sqrt[{\color{red}n}]{a} - \sqrt[{\color{red}m}]{a}\)

c) unterschiedlicher Radikand und unterschiedlicher Wurzelexponent

Beispiele

\({\color{red}\sqrt[5]{3}} - {\color{red}\sqrt[4]{2}}\)

\({\color{red}\sqrt[n]{a}} - {\color{red}\sqrt[m]{b}}\)

Vergiss nicht: Das Subtrahieren von Wurzeln ist nur möglich, wenn die an der Subtraktion beteiligten Wurzeln den gleichen Radikanden und den gleichen Wurzelexponenten besitzen.

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Mehr zur Wurzelrechnung

Im Zusammenhang mit Wurzeln sollte man sich folgende Kenntnisse aneignen:

Grundlagen  
Wurzeln \[\sqrt[n]{a}\]
> Quadratwurzel \[\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}\]
> Kubikwurzel \[\sqrt[3]{a}\]
Wurzelziehen \[\sqrt{a^2} = a\]
Teilweises Wurzelziehen \[\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a} = a\sqrt{a}\]
Wurzelexponenten erweitern \[\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n{\color{red}p}]{a^{m{\color{red}p}}}\]
Wurzelexponenten kürzen \[\sqrt[n\cancel{p}]{a^{m\cancel{p}}} = \sqrt[n]{a^m}\]
Wurzeln gleichnamig machen  
> Gleichnamige Wurzeln \(=\) gleicher Wurzelexponent
> Ungleichnamige Wurzeln \(=\) unterschiedlicher Wurzelexponent
Rechnen mit Wurzeln  
Wurzelgesetze Alle Wurzelgesetze im Überblick!
> Wurzeln addieren \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} + b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a + b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\]
> Wurzeln subtrahieren \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} - b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a - b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\]
> Wurzeln multiplizieren

a) Gleichnamige Wurzeln

\[\sqrt[{\color{green}n}]{a} \cdot \sqrt[{\color{green}n}]{b} = \sqrt[{\color{green}n}]{a \cdot b}\]

b) Ungleichnamige Wurzeln

\(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen

> Wurzeln dividieren

a) Gleichnamige Wurzeln

\[\frac{\sqrt[{\color{green}n}]{a}}{\sqrt[{\color{green}n}]{b}} = \sqrt[{\color{green}n}]{\frac{a}{b}}\]

b) Ungleichnamige Wurzeln

\(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen

> Wurzeln potenzieren \[(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\]
> Wurzeln radizieren \[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}\]
Rationalmachen des Nenners  
Nenner rational machen \(=\) Wurzel im Nenner eines Bruchs eliminieren
Aufgaben mit Lösungen  
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Bei dem Thema Wurzelrechnung ist es besonders wichtig, zu jedem Aufgabentypen möglichst viele Übungsaufgaben zu berechnen. Schließlich gilt: "Übung macht den Meister!".

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!