Elementarereignis

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Elementarereignis ist.

Wiederholung: Zufallsexperiment, Ergebnis, Ergebnisraum und Ereignis

  • Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch mit zufälligem Ausgang.
    Beispiel: Werfen eines Würfels
  • Der Ausgang eines Zufallsexperiments heißt Ergebnis \(\omega\) („Klein-Omega“).
    Beispiel (Würfelwurf): \(\omega_1 = 1\), \(\omega_2 = 2\), \(\omega_3 = 3\), \(\omega_4 = 4\), \(\omega_5 = 5\), \(\omega_6 = 6\)
  • Die Menge aller möglichen Ergebnisse heißt Ergebnisraum \(\Omega\) („Groß-Omega“).
    Beispiel (Würfelwurf): \(\Omega = \{\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4,\omega_5,\omega_6\} = \{1,2,3,4,5,6\}\)

  • Jede Teilmenge \(E\) des Ergebnisraums \(\Omega\) heißt Ereignis.
    Beispiel (Würfelwurf): \(E\colon \text{„Gerade Augenzahl“} \quad \Rightarrow \quad E = \{2, 4, 6\}\)

Problemstellung

Wir wollen ein Ereignis formulieren, das genau ein Element von \(\Omega\) enthält.

Beispiel: „Wer eine 6 würfelt, gewinnt“

\(E\colon \text{„Augenzahl gleich 6“} \quad \Rightarrow \quad E = \{6\}\)

Ein Ereignis, das genau ein Element enthält, heißt Elementarereignis.

Elementarereignisse sind - im Gegensatz zu zusammengesetzten Ereignissen - nicht weiter zerlegbar. Sie sind gewissermaßen die „Atome“ der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Unterschied: Elementarereignis - Ergebnis

Kannst du ein Elementarereignis \(\{\omega\}\) von einem Ergebnis \(\omega\) begrifflich unterscheiden?

Ein Mathematiker würde sagen:

  • Ergebnisse sind die Elemente des Ergebnisraums \(\Omega\).
  • Elementarereignisse sind die einelementigen Teilmengen des Ergebnisraums \(\Omega\).

Deutlich anschaulicher ist folgende Erklärung:

  • Ein Ergebnis \(\omega\) ist ein Hut.
  • Ein Elementarereignis \(\{\omega\}\) ist eine Hutschachtel, die einen Hut enthält.

Warum setzen wir die Ergebnisse eines Zufallsexperiments in Mengenklammern?

Ganz einfach: Die Wahrscheinlichkeitsrechnung baut auf der Mengenlehre auf!

Ein Elementarereignis muss keine Zahl sein

Wir wissen bereits, dass ein Elementarereignis eine Zahl sein kann.

Beispiel (Werfen eines Würfels): „Wer eine 6 würfelt, gewinnt“

\(E\colon \text{„Augenzahl gleich 6“} \quad \Rightarrow \quad E = \{6\}\)

Auch Wörter oder Buchstaben kommen als Elementarereignisse in Frage.

Beispiel (Werfen einer Münze): „Wenn Kopf oben liegt, gewinne ich“

\(E\colon \text{„Kopf“} \quad \Rightarrow \quad E = \{\text{Kopf}\} = \{\text{K}\}\)

Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten sind Elementarereignisse Tupel.

Beispiel (Zweimaliges Werfen eines Würfels): „Wer erst eine 6, dann eine 5 würfelt, gewinnt“

\(E\colon \text{„65“} \quad \Rightarrow \quad E = \{(6, 5)\}\)

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung baut auf folgenden Grundbegriffen auf:

  Bezeichnung Beispiel
Zufallsexperiment   Werfen eines Würfels
Ergebnis \(\omega\) („Klein-Omega“) Augenzahl 4 \(\Rightarrow \omega = 4\)
Ergebnisraum \(\Omega\) („Groß-Omega“) \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)
Ereignis ein lat. Großbuchstabe
(z. B. \(A, B, C\dots\))
\(E\colon \text{„Augenzahl kleiner 4“}\)
\(\Rightarrow E = \{1, 2, 3\}\)
Ereignisraum \(\mathcal{P}(\Omega)\) \(\mathcal{P}(\Omega) = \{\{\,\}, \{1\},\dots,\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\}\)

PS: Wir empfehlen euch, die Mengenlehre noch einmal zu wiederholen!

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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