Elementarereignis

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Elementarereignis ist.

Wiederholung: Zufallsexperiment, Ergebnis, Ergebnisraum und Ereignis

  • Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch mit zufälligem Ausgang.
    Beispiel: Werfen eines Würfels
  • Der Ausgang eines Zufallsexperiments heißt Ergebnis \(\omega\) („Klein-Omega“).
    Beispiel (Würfelwurf): \(\omega_1 = 1\), \(\omega_2 = 2\), \(\omega_3 = 3\), \(\omega_4 = 4\), \(\omega_5 = 5\), \(\omega_6 = 6\)
  • Die Menge aller möglichen Ergebnisse heißt Ergebnisraum \(\Omega\) („Groß-Omega“).
    Beispiel (Würfelwurf): \(\Omega = \{\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4,\omega_5,\omega_6\} = \{1,2,3,4,5,6\}\)

  • Jede Teilmenge \(E\) des Ergebnisraums \(\Omega\) heißt Ereignis.
    Beispiel (Würfelwurf): \(E\colon \text{„Gerade Augenzahl“} \quad \Rightarrow \quad E = \{2, 4, 6\}\)

Problemstellung

Wir wollen ein Ereignis formulieren, das genau ein Element von \(\Omega\) enthält.

Beispiel: „Wer eine 6 würfelt, gewinnt“

\(E\colon \text{„Augenzahl gleich 6“} \quad \Rightarrow \quad E = \{6\}\)

Ein Ereignis, das genau ein Element enthält, heißt Elementarereignis.

Elementarereignisse sind - im Gegensatz zu zusammengesetzten Ereignissen - nicht weiter zerlegbar. Sie sind gewissermaßen die „Atome“ der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Unterschied: Elementarereignis - Ergebnis

Kannst du ein Elementarereignis \(\{\omega\}\) von einem Ergebnis \(\omega\) begrifflich unterscheiden?

Ein Mathematiker würde sagen:

  • Ergebnisse sind die Elemente des Ergebnisraums \(\Omega\).
  • Elementarereignisse sind die einelementigen Teilmengen des Ergebnisraums \(\Omega\).

Deutlich anschaulicher ist folgende Erklärung:

  • Ein Ergebnis \(\omega\) ist ein Hut.
  • Ein Elementarereignis \(\{\omega\}\) ist eine Hutschachtel, die einen Hut enthält.

Warum setzen wir die Ergebnisse eines Zufallsexperiments in Mengenklammern?

Ganz einfach: Die Wahrscheinlichkeitsrechnung baut auf der Mengenlehre auf!

Ein Elementarereignis muss keine Zahl sein

Wir wissen bereits, dass ein Elementarereignis eine Zahl sein kann.

Beispiel (Werfen eines Würfels): „Wer eine 6 würfelt, gewinnt“

\(E\colon \text{„Augenzahl gleich 6“} \quad \Rightarrow \quad E = \{6\}\)

Auch Wörter oder Buchstaben kommen als Elementarereignisse in Frage.

Beispiel (Werfen einer Münze): „Wenn Kopf oben liegt, gewinne ich“

\(E\colon \text{„Kopf“} \quad \Rightarrow \quad E = \{\text{Kopf}\} = \{\text{K}\}\)

Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten sind Elementarereignisse Tupel.

Beispiel (Zweimaliges Werfen eines Würfels): „Wer erst eine 6, dann eine 5 würfelt, gewinnt“

\(E\colon \text{„65“} \quad \Rightarrow \quad E = \{(6, 5)\}\)

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung baut auf folgenden Grundbegriffen auf:

  Bezeichnung Beispiel
Zufallsexperiment   Werfen eines Würfels
Ergebnis \(\omega\) („Klein-Omega“) Augenzahl 4 \(\Rightarrow \omega = 4\)
Ergebnisraum \(\Omega\) („Groß-Omega“) \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)
Ereignis ein lat. Großbuchstabe
(z. B. \(A, B, C\dots\))
\(E\colon \text{„Augenzahl kleiner 4“}\)
\(\Rightarrow E = \{1, 2, 3\}\)
Ereignisraum \(\mathcal{P}(\Omega)\) \(\mathcal{P}(\Omega) = \{\{\,\}, \{1\},\dots,\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\}\)

PS: Wir empfehlen euch, die Mengenlehre noch einmal zu wiederholen!

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!