Mächtigkeit

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter der Mächtigkeit einer Menge versteht.
Dabei werden Grundkenntnisse der Mengenlehre als bekannt vorausgesetzt.

Unter der Mächtigkeit einer Menge versteht man die Anzahl der Elemente dieser Menge.

Schreibweise: \(|A|\)

Beispiel

Die Menge
\(A = \{\text{Hund, Katze, Maus}\}\)
besitzt drei Elemente.

Die Mächtigkeit der Menge \(A\) ist 3.
Es gilt: \(|A| = 3\).

Mächtigkeit einer Menge bestimmen

Nach dem Motto "Übung macht den Meister!" schauen wir uns noch einige weitere Beispiele an:

\(A = \{1,3,5,7,9\} \qquad \Rightarrow \quad |A| = 5\)

\(B = \{x,y,z\} \qquad \Rightarrow \quad |B| = 3\)

\(C = \{\text{München, Hamburg, Berlin, Köln}\} \qquad \Rightarrow \quad |C| = 4\)

Wenn also nach der Mächtigkeit einer Menge gefragt ist, geht es darum, die Anzahl der Elemente zu bestimmen. Dazu muss man in den meisten Fällen die Elemente einfach abzählen.

Mehr zum Thema Mengenlehre

Im Zusammenhang mit der Mengenlehre gibt es einige Themen, die in Klausuren immer wieder abgefragt werden. Daher lohnt es sich, die folgenden Kapital nacheinander durchzuarbeiten.

  Symbol Bedeutung
Mengenschreibweise    
     
Leere Menge \(\emptyset\) \(= \text{Menge, die keine Elemente enthält}\)
Mächtigkeit \(|A|\) \(= \text{Anzahl der Elemente von } A\)
     
Potenzmenge \(\mathcal{P}(A)\) \(:= \{X~|~X \subseteq A\}\)
Mengenbeziehungen    
Gleichheit von Mengen \(A = B\) \(:\Leftrightarrow~\forall x~(x \in A \Leftrightarrow x \in B)\)
Teilmenge \(A \subseteq B\) \(:\Leftrightarrow \forall x~(x \in A \Rightarrow x \in B)\)
Disjunkte Mengen \(A \cap B = \emptyset\) \(= \text{Mengen ohne gemeinsame Elemente}\)
Mengenverknüpfungen    
Vereinigungsmenge \(A \cup B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\vee~ x \in B\}\)
Schnittmenge \(A \cap B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \in B\}\)
Differenzmenge \(A \setminus B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \notin B\}\)
- Komplement \(\bar{A}_B\) \(:= \{x \,|\, x \in B \enspace \wedge \enspace x \notin A\}\)
Symmetrische Differenz \(A \bigtriangleup B\) \(:= \{x~|~(x \in A ~\wedge~ x \notin B) \vee (x \in B ~\wedge~ x \notin A)\}\)
Kartesisches Produkt \(A \times B\) \(:= \{(a,b)~|~a \in A ~\wedge~ b \in B\}\)

Hinweis:
Zur Definition von mathematischen Symbolen wird für gewöhnlich ein Doppelpunkt vor einem Gleichheitszeichen benutzt, dabei wird der links (beim Doppelpunkt) stehende Ausdruck durch den anderen definiert. Das Doppelpunkt-Gleichheitszeichen \(:=\) spricht man "ist definitionsgemäß gleich". Häufig wird der Doppelpunkt einfach weggelassen.

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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