Leere Menge

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine leere Menge ist.
Dabei werden Grundkenntnisse der Mengenlehre als bekannt vorausgesetzt.

Die leere Menge ist eine Menge, die keine Elemente enthält.

Für eine leere Menge sind drei Schreibweisen verbreitet:

  1. \(\{\}\) (leere Mengenklammern)
  2. \(\emptyset\) (ein durchgestrichenes schmales Oval)
  3. \(\varnothing\) (ein durchgestrichener Kreis)

Anmerkungen

  • Es gilt: \(\emptyset \neq \{0\}\)
    Begründung: Die Menge \(\{0\}\) ist die einelementige Menge der Null (also eine Menge, die die Null beinhaltet und somit nicht leer ist!). Im Gegensatz dazu besitzt \(\emptyset\) keine Elemente. Die leere Menge darf also nicht mit einer Menge verwechselt werden, die nur aus dem Element Null besteht.

  • Es gilt: \(\emptyset \neq \{\emptyset\}\)
    Begründung: Die Menge \(\{\emptyset\}\) ist die einelementige Menge der leeren Menge (also eine Menge, die die leere Menge beinhaltet und somit nicht leer ist!). Im Gegensatz dazu besitzt \(\emptyset\) keine Elemente.

  • Es gibt nur eine leere Menge. Zwei Mengen sind nämlich identisch, wenn sie dieselben Elemente besitzen (> Gleichheit von Mengen). Zwei leere Mengen besitzen dieselben Elemente (nämlich keine) und müssen deswegen ein- und dasselbe Objekt sein.

Eigenschaften der leeren Menge

\(\emptyset \subseteq A\)
Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.

\(A \subseteq \emptyset \quad\Rightarrow\quad A = \emptyset\)
Die einzige Teilmenge der leeren Menge ist die leere Menge. Daraus folgt:

\(\mathcal{P}(\emptyset) = \{\emptyset\}\)
Die Potenzmenge der leeren Menge enthält genau ein Element (die leere Menge selbst).

\(\emptyset \cap A = \emptyset\)
Die Schnittmenge einer leeren Menge mit einer beliebigen Menge \(A\) ist die leere Menge.

\(\emptyset \cup A = A\)
Die Vereinigungsmenge einer leeren Menge mit einer beliebigen Menge \(A\) ist die Menge \(A\).

\(\emptyset \times A = \emptyset\)
Das kartesische Produkt einer leeren Menge mit einer beliebigen Menge \(A\) ist die leere Menge.

Mehr zum Thema Mengenlehre

Im Zusammenhang mit der Mengenlehre gibt es einige Themen, die in Klausuren immer wieder abgefragt werden. Daher lohnt es sich, die folgenden Kapital nacheinander durchzuarbeiten.

  Symbol Bedeutung
Mengenschreibweise    
     
Leere Menge \(\emptyset\) \(= \text{Menge, die keine Elemente enthält}\)
Mächtigkeit \(|A|\) \(= \text{Anzahl der Elemente von } A\)
     
Potenzmenge \(\mathcal{P}(A)\) \(:= \{X~|~X \subseteq A\}\)
Mengenbeziehungen    
Gleichheit von Mengen \(A = B\) \(:\Leftrightarrow~\forall x~(x \in A \Leftrightarrow x \in B)\)
Teilmenge \(A \subseteq B\) \(:\Leftrightarrow \forall x~(x \in A \Rightarrow x \in B)\)
Disjunkte Mengen \(A \cap B = \emptyset\) \(= \text{Mengen ohne gemeinsame Elemente}\)
Mengenverknüpfungen    
Vereinigungsmenge \(A \cup B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\vee~ x \in B\}\)
Schnittmenge \(A \cap B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \in B\}\)
Differenzmenge \(A \setminus B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \notin B\}\)
- Komplement \(\bar{A}_B\) \(:= \{x \,|\, x \in B \enspace \wedge \enspace x \notin A\}\)
Symmetrische Differenz \(A \bigtriangleup B\) \(:= \{x~|~(x \in A ~\wedge~ x \notin B) \vee (x \in B ~\wedge~ x \notin A)\}\)
Kartesisches Produkt \(A \times B\) \(:= \{(a,b)~|~a \in A ~\wedge~ b \in B\}\)

Hinweis:
Zur Definition von mathematischen Symbolen wird für gewöhnlich ein Doppelpunkt vor einem Gleichheitszeichen benutzt, dabei wird der links (beim Doppelpunkt) stehende Ausdruck durch den anderen definiert. Das Doppelpunkt-Gleichheitszeichen \(:=\) spricht man "ist definitionsgemäß gleich". Häufig wird der Doppelpunkt einfach weggelassen.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!