Quadrat

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Quadrat ist.

Ein Quadrat ist ein Viereck mit
- vier gleich langen Seiten
- vier rechten Winkeln

Rechter Winkel“ ist der mathematische Fachbegriff für einen Winkel von 90°.


Beispiel eines Quadrats

Die vier gleich langen Seiten bezeichnen wir
mit dem Kleinbuchstaben \(a\).

Die vier rechten Winkel deuten wir graphisch durch Viertelkreise mit einem Punkt an.

Beziehungen zu anderen Figuren

Ein Quadrat ist...

  • ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten.
  • eine Raute mit vier rechten Winkeln.
  • ein Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten und vier rechten Winkeln.
  • ein Trapez mit vier gleich langen Seiten und vier rechten Winkeln.

Eigenschaften eines Quadrats

a) Allgemeine Eigenschaften

Ecken

Jedes Viereck hat vier Ecken.

Seiten

Jedes Viereck hat vier Seiten.

Winkel

In jedem Viereck
- gibt es vier Innenwinkel
- beträgt die Winkelsumme 360°
   \(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ\)

Diagonale

Jedes Viereck hat zwei Diagonalen.

b) Besondere Eigenschaften

Seiten

In einem Quadrat sind
- alle Seiten gleich lang
   \(a = b = c = d\)
- gegenüberliegende Seiten parallel
   \(a \parallel c\) und \(b \parallel d\)

Aufgrund der Gleichheit ihrer Längen werden alle vier Seiten eines Quadrats meist einfach mit \(a\) bezeichnet.

Winkel

Ein Quadrat hat vier rechte Winkel.
\(\alpha = \beta = \gamma = \delta = 90^\circ\)

Diagonale

Die Diagonalen eines Quadrats
- sind gleich lang (\(e = f\))
- halbieren einander
- stehen aufeinander senkrecht (\(e \bot f\))
- halbieren die Innenwinkel des Quadrats

Aufgrund der Gleichheit ihrer Längen werden die beiden Diagonalen eines Quadrats häufig einfach mit \(d\) bezeichnet.

Symmetrie

Ein Quadrat ist achsensymmetrisch zu
- den beiden Mittelsenkrechten
- den beiden Diagonalen

Ein Quadrat ist punktsymmetrisch zu
- dem Schnittpunkt der Diagonalen \(S\)

Umkreis

Ein Quadrat besitzt einen Umkreis.
(\(\Rightarrow\) Sehnenviereck)

Mittelpunkt: Diagonalenschnittpunkt \(S\)

Radius: \(r_u = \frac{1}{2} \cdot d\)
Der Umkreisradius ist halb so lang
wie eine Diagonale des Quadrats.

Inkreis

Ein Quadrat besitzt einen Inkreis.
(\(\Rightarrow\) Tangentenviereck)

Mittelpunkt: Diagonalenschnittpunkt \(S\)

Radius: \(r_i = \frac{1}{2} \cdot a\)
Der Inkreisradius ist halb so lang
wie eine Seite des Quadrats.

Quadrat berechnen


Flächeninhalt

\(A = a^2\)





Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel
Flächeninhalt eines Quadrats berechnen.


Umfang

\(U = 4a\)





Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel
Umfang eines Quadrats berechnen.

Diagonale

\(d = a\sqrt{2}\)

Seitenlänge

In manchen Aufgaben ist der Flächeninhalt, der Umfang oder die Diagonale gegeben und die Seitenlänge \(a\) des Quadrats ist gesucht.

In so einem Fall müssen wir die oben erwähnten Gleichungen mit Hilfe von Äquivalenzumformungen nach \(a\) auflösen.

Vierecke im Überblick

Im Folgenden findest du einen Überblick über die wichtigsten Vierecke und ihre Eigenschaften.

  Definierende Eigenschaften
Trapez - ein Paar paralleler Seiten
- Gleichschenkliges Trapez - ein Paar paralleler Seiten
- gleich lange Schenkel
- Rechtwinkliges Trapez - ein Paar paralleler Seiten
- ein Schenkel, der auf den parallelen Seiten senkrecht steht
Parallelogramm - zwei Paare paralleler Seiten
Raute - vier gleich lange Seiten
Rechteck - vier rechte Winkel
Quadrat - vier rechte Winkel
- vier gleich lange Seiten
Drachenviereck - eine Diagonale als Symmetrieachse
Sehnenviereck - alle Seiten sind Sehnen eines Kreises (Umkreis)
Tangentenviereck - alle Seiten sind Tangenten eines Kreises (Inkreis)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!