Viereck
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Viereck ist.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Eine geometrische Figur, die aus
vier Punkten $A$, $B$, $C$, $D$, von denen keine drei auf einer Gerade liegen und den
vier Strecken $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$, $\overline{DA}$, die diese Punkte miteinander verbinden,
besteht, heißt Viereck.
Eigenschaften
Allgemeines Viereck
Ecken
Jedes Viereck hat vier Ecken.
Die Ecken werden meist mit den großen Buchstaben $A$, $B$, $C$ und $D$ - beginnend
von der linken unteren Ecke gegen den Uhrzeigersinn - bezeichnet.
Gegenüberliegende Ecken heißen Gegenecken.
Nebeneinanderliegende Ecken heißen Nachbarecken.
Beispiele
Die Nachbarecken von $A$ sind $B$ und $D$.
Die Nachbarecken von $B$ sind $C$ und $A$.
Die Nachbarecken von $C$ sind $D$ und $B$.
Die Nachbarecken von $D$ sind $A$ und $C$.
Seiten
Jedes Viereck hat vier Seiten.
Die Seiten werden meist mit den kleinen Buchstaben $a$, $b$, $c$ und $d$ bezeichnet.
Dabei gilt:$a = [AB]$,$b = [BC]$,$c = [CD]$,$d = [DA]$
Gegenüberliegende Seiten heißen Gegenseiten.
Nebeneinanderliegende Seiten heißen Nachbarseiten.
Beispiele
Die Nachbarseiten von $a$ sind $b$ und $d$.
Die Nachbarseiten von $b$ sind $c$ und $a$.
Die Nachbarseiten von $c$ sind $d$ und $b$.
Die Nachbarseiten von $d$ sind $a$ und $c$.
Winkel
Jedes Viereck hat vier Innenwinkel.
Die Innenwinkel werden meist mit den griechischen Kleinbuchstaben $\alpha$ (alpha),
$\beta$ (beta), $\gamma$ (gamma) und $\delta$ (delta) bezeichnet.
$A$ ist der Scheitelpunkt von $\alpha$, $B$ von $\beta$ usw.
In jedem Viereck ist die Winkelsumme $360^\circ$:
$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$
Gegenüberliegende Winkel heißen Gegenwinkel.
Beispiele$\alpha$ und $\gamma$ sind Gegenwinkel.$\beta$ und $\delta$ sind Gegenwinkel.
Nebeneinanderliegende Winkel heißen Nachbarwinkel.
Beispiele
Die Nachbarwinkel von $\alpha$ sind $\beta$ und $\delta$.
Die Nachbarwinkel von $\beta$ sind $\gamma$ und $\alpha$.
Die Nachbarwinkel von $\gamma$ sind $\delta$ und $\beta$.
Die Nachbarwinkel von $\delta$ sind $\alpha$ und $\gamma$.
Diagonale
Die Verbindungsstrecken zweier Gegenecken heißen Diagonale.
Besondere Vierecke
Vierecke mit parallelen Seiten
Vierecke mit einem Paar paralleler Seiten
– Trapez
– Gleichschenkliges Trapez
– Rechtwinkliges Trapez
Vierecke mit zwei Paaren paralleler Seiten
– Parallelogramm
– Raute
– Rechteck
– Quadrat
Vierecke mit rechten Winkeln
Vierecke mit zwei rechten Winkeln
– Rechtwinkliges Trapez
Achsensymmetrische Vierecke
a) Lotsymmetrische Vierecke
(Symmetrieachse = Lot zu parallelen Seiten)
Das gleichschenklige Trapez heißt auch lotsymmetrisches Viereck.
b) Diagonalsymmetrische Vierecke
(Symmetrieachse = Diagonale)
Das Drachenviereck heißt auch diagonalsymmetrisches Viereck.
Punktsymmetrische Vierecke
(Spiegelzentrum = Schnittpunkt der Diagonalen $S$)
Das Parallelogramm heißt auch punktsymmetrisches Viereck.
Vierecke mit Umkreis
Jede Ecke des Vierecks liegt auf dem Kreis.
Vierecke mit Umkreis heißen Sehnenvierecke.
Spezielle Sehnenvierecke
– Gleichschenkliges Trapez
– Rechteck
– Quadrat
Vierecke mit Inkreis
Jede Seite des Vierecks berührt den Kreis.
Vierecke mit Inkreis heißen Tangentenvierecke.
Spezielle Tangentenvierecke
– Raute
– Quadrat
– Drachenviereck
Vierecke im Überblick
| Viereck | Definierende Eigenschaften |
|---|---|
| Trapez | ein Paar paralleler Seiten |
| Gleichschenkliges Trapez | – ein Paar paralleler Seiten – gleich lange Schenkel |
| Rechtwinkliges Trapez | – ein Paar paralleler Seiten – ein Schenkel, der auf den parallelen Seiten senkrecht steht |
| Parallelogramm | zwei Paare paralleler Seiten |
| Raute | vier gleich lange Seiten |
| Rechteck | vier rechte Winkel |
| Quadrat | – vier rechte Winkel – vier gleich lange Seiten |
| Drachenviereck | eine Diagonale als Symmetrieachse |
| Sehnenviereck | alle Seiten sind Sehnen eines Kreises (Umkreis) |
| Tangentenviereck | alle Seiten sind Tangenten eines Kreises (Inkreis) |
Viereck berechnen
Umfang
Umfang eines Vierecks ist der Fachbegriff für die Summe der Seitenlängen.
Die Umfangsformeln können wir danach sortieren, wie viele Seiten gemessen werden müssen.
| Viereck | Formel |
|---|---|
| 4 Seiten | |
| Allgemeines Viereck | $U = a + b + c + d$ |
| Trapez | $U = a + b + c + d$ |
| Rechtwinkliges Trapez | $U = a + b + c + d$ |
| Sehnenviereck | $U = a + b + c + d$ |
| 3 Seiten | |
| Gleichschenkliges Trapez | $U = a+2b+c = a+c+2d$ |
| 2 Seiten | |
| Parallelogramm | $U = 2(a+b)$ |
| Rechteck | $U = 2(a+b)$ |
| Drachenviereck | $U = 2(a+b)$ |
| Tangentenviereck | $U = 2(a+c) = 2(b+d)$ |
| 1 Seite | |
| Raute | $U = 4a$ |
| Quadrat | $U = 4a$ |
Flächeninhalt
Flächeninhalt eines Vierecks ist der Fachbegriff für die Größe der Vierecksfläche.
Alle geradlinig begrenzten Figuren lassen sich zu einem Rechteck umformen.
| Viereck | Formel |
|---|---|
| Leicht | |
| Rechteck | $A = a \cdot b$ (Länge mal Breite) |
| Quadrat | $A = a \cdot a$ (Seitenlänge mal Seitenlänge) |
| Mittel | |
| Parallelogramm | $A = a \cdot h_a = b \cdot h_b$ |
| Raute | $A = a \cdot h_a = \frac{1}{2}ef$ |
| Drachenviereck | $A = \frac{1}{2}ef$ |
| Trapez + Gleichschenkliges Trapez + Rechtwinkliges Trapez | $A = m \cdot h = \frac{1}{2}(a+c) \cdot h$ |
| Schwer | |
| Tangentenviereck | $A = r_i(a+c) = r_i(b+d)$ |
| Sehnenviereck | $A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$mit $s = \frac{1}{2}(a+b+c+d)$ |
