Gleichschenkliges Trapez

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein gleichschenkliges Trapez ist.

Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck mit
- einem Paar paralleler Seiten
- gleich langen Schenkeln

Das gleichschenklige Trapez wird häufig auch „symmetrisches Trapez“ genannt.


Beispiel eines gleichschenkligen Trapezes

Neben einem Paar paralleler Seiten (\(a \parallel c\)) zeichnet sich ein gleichschenkliges Trapez durch gleich lange Schenkel (\(b = c\)) aus.

Eigenschaften eines
gleichschenkligen Trapezes

a) Allgemeine Eigenschaften

Ecken

Jedes Viereck hat vier Ecken.

Seiten

Jedes Viereck hat vier Seiten.

In jedem Trapez
- verlaufen zwei Seiten parallel zueinander
- heißen die parallelen Seiten Grundseiten
- heißt die längere Grundseite oft Basis
- heißen die anderen (im Allgemeinen nicht
  parallelen) Seiten Schenkel

Winkel

In jedem Viereck
- gibt es vier Innenwinkel
- beträgt die Winkelsumme 360°
   \(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ\)

In jedem Trapez ergänzen sich die
Winkel an jedem Schenkel zu 180°.
\(\alpha + \delta = 180^\circ\) und \(\beta + \gamma = 180^\circ\)

Diagonale

Jedes Viereck hat zwei Diagonalen.

Höhe

Die Höhe in einem Trapez entspricht dem Abstand der beiden parallelen Seiten.

Mittelparallele

Die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte der Schenkel heißt Mittelparallele (oder: Mittellinie). Sie verläuft parallel zu den Grundseiten.

Die Mittelparallele eines Trapezes ist gleich
der halben Summe der beiden Grundseiten: \(m = \frac{1}{2}(a+c)\).

b) Besondere Eigenschaften

Seiten

Im gleichschenkligen Trapez
sind die Schenkel gleich lang.
\(b = d\)


Winkel

Im gleichschenkligen Trapez
sind die Winkel an jeder Grundseite gleich.
\(\alpha = \beta\) und \(\gamma = \delta\)


Diagonale

Im gleichschenkligen Trapez
sind die Diagonalen gleich lang.
\(e = f\)

Symmetrie

Ein gleichschenkliges Trapez ist achsensymmetrisch bezüglich der Mittelsenkrechten der Grundseiten.

Ein gleichschenkliges Trapez wird deshalb auch als symmetrisches Trapez bezeichnet.

Umkreis

Ein gleichschenkliges Trapez besitzt
einen Umkreis (\(\Rightarrow\) Sehnenviereck).

Umkreismittelpunkt:
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten

Gleichschenkliges Trapez berechnen

Umfang - Gleichschenkliges Trapez

\(\begin{align*} U &= a + 2b + c &&{\color{gray}|\text{ 1. Formel}}\\[5pt] &= a + c + 2d &&{\color{gray}|\text{ 2. Formel}} \end{align*}\)

Flächeninhalt - Gleichschenkliges Trapez

\(\begin{align*} A &= m \cdot h &&{\color{gray}|\text{ 1. Formel}}\\[5pt] &= \frac{1}{2}(a+c) \cdot h &&{\color{gray}|\text{ 2. Formel}}\\[5pt] \end{align*}\)

Spezielle gleichschenklige Trapeze

Rechteck

= ungleichseitiges, gleichschenkliges Trapez
   mit vier rechten Winkeln

Quadrat

= gleichseitiges, gleichschenkliges Trapez
   mit vier rechten Winkeln

Vierecke im Überblick

Im Folgenden findest du einen Überblick über die wichtigsten Vierecke und ihre Eigenschaften.

  Definierende Eigenschaften
Trapez - ein Paar paralleler Seiten
- Gleichschenkliges Trapez - ein Paar paralleler Seiten
- gleich lange Schenkel
- Rechtwinkliges Trapez - ein Paar paralleler Seiten
- ein Schenkel, der auf den parallelen Seiten senkrecht steht
Parallelogramm - zwei Paare paralleler Seiten
Raute - vier gleich lange Seiten
Rechteck - vier rechte Winkel
Quadrat - vier rechte Winkel
- vier gleich lange Seiten
Drachenviereck - eine Diagonale als Symmetrieachse
Sehnenviereck - alle Seiten sind Sehnen eines Kreises (Umkreis)
Tangentenviereck - alle Seiten sind Tangenten eines Kreises (Inkreis)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!