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Sattelpunkt berechnen

In diesem Kapitel lernst du, wie man einen Sattelpunkt einer Funktion berechnet.

Inhaltsverzeichnis

Definition 

Ein Sattelpunkt ist ein Spezialfall eines Wendepunktes:

Ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente heißt Sattelpunkt.

Satz 

Ein Sattelpunkt liegt vor, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

  1. $f''(x_0) = 0$
  2. $f'''(x_0) \neq 0$
  3. $f'(x_0) = 0$

Die 1. und 2. Bedingung sind die Bedingungen für einen Wendepunkt. Die 3. Bedingung ist die Bedingung für eine waagrechte Tangente.

Anleitung 

2. Ableitung berechnen

Nullstellen der 2. Ableitung berechnen

Funktionsgleichung der 2. Ableitung gleich Null setzen

Gleichung lösen

3. Ableitung berechnen

Nullstellen der 2. Ableitung in 3. Ableitung einsetzen

$\boldsymbol{x}$-Koordinaten der Wendepunkte in 1. Ableitung einsetzen

$\boldsymbol{y}$-Koordinaten der Sattelpunkte berechnen

zu 2)

Die Nullstellen der 2. Ableitung sind die $x$-Koordinaten der möglichen Wendepunkte.

zu 4)

Ist die 3. Ableitung dann ungleich Null, handelt es sich um einen Wendepunkt.

zu 5)

Ist die 1. Ableitung dann gleich Null, handelt es sich um einen Sattelpunkt.

zu 6)

Ein Punkt besteht im $\mathbb{R}^2$ immer aus zwei Koordinaten, weshalb man bei der Berechnung eines Sattelpunktes nicht seine $y$-Koordinate vergessen darf. Dazu setzen wir die $x$-Koordinate in $f(x)$ ein.

Beispiel 1 

Untersuche die Funktion $f(x) = x^3$ auf Sattelpunkte.

2. Ableitung berechnen

$$ f'(x) = 3x^2 $$

$$ f''(x) = 6x $$

Nullstellen der 2. Ableitung berechnen

Funktionsgleichung der 2. Ableitung gleich Null setzen

$$ 6x = 0 $$

Gleichung lösen

$$ x = 0 $$

3. Ableitung berechnen

$$ f'''(x) = 6 $$

Nullstellen der 2. Ableitung in 3. Ableitung einsetzen

Da in der 3. Ableitung kein $x$ vorkommt, sind wir bereits fertig.

Die 3. Ableitung ist immer ungleich Null: $f'''(x) = 6 \neq 0$.

Aus diesem Grund liegt an der Stelle $x = 0$ ein Wendepunkt vor.

$\boldsymbol{x}$-Koordinaten der Wendepunkte in 1. Ableitung einsetzen

$$ f'(x) = 3x^2 $$

$$ f'(0) = 3\cdot 0^2 = 0 $$

Da die 1. Ableitung für $x_0 = 0$ gleich Null ist, liegt an dieser Stelle ein Sattelpunkt vor.

$\boldsymbol{y}$-Koordinaten der Sattelpunkte berechnen

$$ y = f(0) = 0^3 = 0 $$

$\Rightarrow$ Die Funktion hat bei $(0|0)$ einen Sattelpunkt.

Graphische Darstellung

Im Koordinatensystem ist die Funktion $f(x) = x^3$ eingezeichnet.

Der Sattelpunkt und die waagrechte Tangente sind rot markiert.

Abb. 1 

Beispiel 2 

Untersuche die Funktion $f(x) = -\frac{2}{3}x^3 + 2x^2 - 2x + 2$ auf Sattelpunkte.

2. Ableitung berechnen

$$ f'(x) = -2x^2 + 4x - 2 $$

$$ f''(x) = -4x + 4 $$

Nullstellen der 2. Ableitung berechnen

Funktionsgleichung der 2. Ableitung gleich Null setzen

$$ -4x + 4 = 0 $$

Gleichung lösen

$$ \begin{align*} -4x + 4 &= 0 &&|\, -4 \\[5px] -4x &= -4 &&|\, :4 \\[5px] x &= \frac{-4}{-4} \\[5px] x &= 1 \end{align*} $$

3. Ableitung berechnen

$$ f'''(x) = -4 $$

Nullstellen der 2. Ableitung in 3. Ableitung einsetzen

Da in der 3. Ableitung kein $x$ vorkommt, sind wir bereits fertig.

Die 3. Ableitung ist immer ungleich Null: $f'''(x) = -4 \neq 0$.

Aus diesem Grund liegt an der Stelle $x = 1$ ein Wendepunkt vor.

$\boldsymbol{x}$-Koordinaten der Wendepunkte in 1. Ableitung einsetzen

$$ f'(x) = -2x^2 + 4x - 2 $$

$$ f'(1) = -2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 - 2= 0 $$

Da die 1. Ableitung für $x_0 = 1$ gleich Null ist, liegt an dieser Stelle ein Sattelpunkt vor.

$\boldsymbol{y}$-Koordinaten der Sattelpunkte berechnen

$$ y = f(1) = -\frac{2}{3} \cdot 1^3 + 2 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 + 2 = \frac{4}{3} $$

$\Rightarrow$ Die Funktion hat bei $(1|\frac{4}{3})$ einen Sattelpunkt.

Graphische Darstellung

Im Koordinatensystem ist die Funktion $f(x)= -\frac{2}{3}x^3 + 2x^2 - 2x + 2$ eingezeichnet.

Der Sattelpunkt und die waagrechte Tangente sind rot markiert.

Abb. 2 

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