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Wendepunkt berechnen

In diesem Kapitel lernst du, wie man den Wendepunkt einer Funktion berechnet.

Graphisch betrachtet handelt es sich bei einem Wendepunkt um einen Punkt, an dem der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten ändert. Er wechselt an dieser Stelle entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt.

Ein Wendepunkt liegt vor, wenn gilt:

\(f''(x_0) = 0 \qquad \text{und} \qquad f'''(x_0) \neq 0\)

Was auf den ersten Blick vielleicht etwas kryptisch aussieht, ist eigentlich ganz einfach:

  1. Zweite Ableitung berechnen
  2. Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen
  3. Dritte Ableitung berechnen
  4. Die in Schritt 2 berechneten x-Werte in die dritte Ableitung ein
    -> ist die dritte Ableitung dann ungleich Null, handelt es sich um einen Wendepunkt
  5. Die berechneten x-Werte in die Funktion \(f(x)\) einsetzen, um die y-Koordinaten der Wendepunkte zu berechnen

Wendepunkt berechnen - Beispiel 1

Die Funktion \(f(x) = x^3\) ist auf Wendepunkte zu untersuchen.

1.) 2. Ableitung berechnen

\(f'(x) = 3x^2\)

\(f''(x) = 6x\)

2.) Für welche x-Werte wird die 2. Ableitung gleich Null?

Ansatz: \(f''(x) = 0\)

\(f''(x) = 6x = 0 \qquad \rightarrow \qquad x = 0\)

3.) 3. Ableitung berechnen

\(f'''(x) = 6\)

4.) Den in Schritt 2 berechneten x-Wert in die 3. Ableitung einsetzen

Da in der dritten Ableitung kein x vorkommt, sind wir bereits fertig!

Die dritte Ableitung ist immer ungleich Null: \(f'''(x) = 6 \neq 0\).

...aus diesem Grund liegt an der Stelle \(x = 0\) ein Wendepunkt vor.

5.) x-Wert in die Funktion \(f(x)\) einsetzen, um die y-Koordinate des Wendepunktes zu berechnen

Unsere Aufgabe ist es, einen WendePUNKT zu berechnen. Ein Punkt bestimmt immer aus zwei Koordinaten, weshalb man die Berechnung der y-Koordinante nicht vergessen darf!

\(y = f(0) = 0^3 = 0\)

Zusammenfassung

Die Funktion besitzt an der Stelle (0|0) einen Wendepunkt.

Im Koordinatensystem ist die Funktion \(f(x) = x^3\) eingezeichnet. Außerdem ist der Wendepunkt der Funktion rot markiert.

Für \(x < 0\) ist die Funktion rechtsgekrümmt.
Für \(x > 0\) ist die Funktion linksgekrümmt.

Es wird deutlich, dass der Wendepunkt \(x = 0\) der Punkt ist, an dem sich das Krümmungsverhalten ändert.

Wendepunkt berechnen - Beispiel 2

Die Funktion \(f(x) =\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 + 4x\) ist auf Wendepunkte zu untersuchen.

1.) 2. Ableitung berechnen

\(f'(x) = 2x^2 + 6x + 4\)

\(f''(x) = 4x + 6\)

2.) Für welche x-Werte wird die 2. Ableitung gleich Null?

Ansatz: \(f''(x) = 0\)

\[f''(x) = 4x + 6 = 0 \qquad \rightarrow \quad x = -\frac{6}{4} = -1,5\]

3.) 3. Ableitung berechnen

\(f'''(x) = 4\)

4.) Den in Schritt 2 berechneten x-Wert in die 3. Ableitung einsetzen

Da in der dritten Ableitung kein x vorkommt, sind wir bereits fertig!

Die dritte Ableitung ist immer ungleich Null: \(f'''(x) = 4 \neq 0\).

..aus diesem Grund liegt an der Stelle \(x = -1,5\) ein Wendepunkt vor.

5.) x-Wert in die Funktion einsetzen, um die y-Koordinate des Wendepunktes zu berechnen

Unsere Aufgabe ist es, einen WendePUNKT zu berechnen. Ein Punkt bestimmt immer aus zwei Koordinaten, weshalb man die Berechnung der y-Koordinante nicht vergessen darf!

\(y = f(-1,5) = \frac{2}{3} \cdot (-1,5)^3 + 3\cdot (-1,5)^2 + 4\cdot (-1,5) = -1,5\)

Zusammenfassung

Die Funktion besitzt an der Stelle \(\left(-1,5|-1,5\right)\) einen Wendepunkt.

Im Koordinatensystem ist die Funktion \(f(x) =\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 + 4x\) eingezeichnet. Außerdem ist der Wendepunkt der Funktion rot markiert.

Für \(x < -1,5\) ist die Funktion rechtsgekrümmt.
Für \(x > -1,5\) ist die Funktion linksgekrümmt.

Es wird deutlich, dass der Wendepunkt \(x = -1,5\) der Punkt ist, an dem sich das Krümmungsverhalten ändert.

Extremwerte - Formelsammlung

In der folgenden Übersicht findest du eine Formelsammlung zur Berechnung der Extremwerte.

  Bedingung
Hochpunkt berechnen \(f'(x_0) = 0 \qquad \text{und} \qquad f''(x_0) < 0\)
Tiefpunkt berechnen \(f'(x_0) = 0 \qquad \text{und} \qquad f''(x_0) > 0\)
Wendepunkt berechnen \(f''(x_0) = 0\)
\(f'''(x_0) \neq 0\)
Sattelpunkt berechnen \(\left.\begin{align*} f''(x_0) &= 0\\ f'''(x_0)& \neq 0 \end{align*}\right\}\) Bedingung für einen Wendepunkt
und
\(f'(x_0) = 0\) (Bedingung für eine waagrechte Tangente)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!