Quadratische Gleichungen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was quadratische Gleichungen sind.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Gleichung?
- Äquivalenzumformungen
Definition
Gleichungen, die sich durch Äquivalenzumformungen auf die Form
$$ ax^2 + bx + c = 0 \quad (a, b, c \in \mathbb{R}; a \neq 0) $$
bringen lassen, heißen quadratische Gleichungen.
Wir können quadratische Gleichungen daran erkennen, dass die Variable $x$ in der 2. Potenz ($x^2$), aber in keiner höheren Potenz vorkommt.
$4x + 8 = 0$ ist keine quadratische Gleichung, weil die Variable $x$ nicht in der 2. Potenz vorkommt.
$2x^3 + 3x^2 - 7 = 0$ ist keine quadratische Gleichung, weil die Variable $x$ in einer höheren als der 2. Potenz vorkommt.
Darstellungsformen
Für jede quadratische Gleichung gibt es verschiedene Darstellungsformen. Die beiden wichtigsten Formen sind die allgemeine Form und die Normalform. Sie unterscheiden durch den Koeffizienten (Vorfaktor) des quadratischen Glieds ($x^2$).
Allgemeine Form
In der allgemeinen Form ist der Koeffizient von $x^2$ ungleich $1$:
$ax^2 + bx + c = 0$ heißt allgemeine Form einer quadratischen Gleichung.
Dabei ist $\boldsymbol{ax^2}$ das quadratische Glied, $\boldsymbol{bx}$ das lineare Glied und $\boldsymbol{c}$ das absolute Glied.
Jede quadratische Gleichung lässt sich durch Äquivalenzumformungen in die allgemeine Form bringen.
Handelt es sich bei $x (x^2 + 4) + 1 = x^3 - 2x^2$ um eine quadratische Gleichung?
Wir versuchen, die Gleichung durch Äquivalenzumformungen in die allgemeine Form $ax^2 + bx + c = 0$ zu bringen.
$$ \begin{align*} x (x^2 + 4) + 1 &= x^3 - 2x^2 &&{\color{gray}| \text{ Ausmultiplizieren}} \\[5px] x^3 + 4x + 1 &= x^3 - 2x^2 &&{\color{gray}|\, -x^3} \\[5px] 4x + 1 &= - 2x^2 &&{\color{gray}|\, +2x^2} \\[5px] 2x^2 + 4x + 1 &= 0 \end{align*} $$
Ja, es handelt es sich um eine quadratische Gleichung.
Handelt es sich bei $x (x^2 + 4) + 1 = - 2x^2 + 4x$ um eine quadratische Gleichung?
Wir versuchen, die Gleichung durch Äquivalenzumformungen in die allgemeine Form $ax^2 + bx + c = 0$ zu bringen.
$$ \begin{align*} x (x^2 + 4) + 1 &= - 2x^2 + 4x &&{\color{gray}| \text{ Ausmultiplizieren}} \\[5px] x^3 + 4x + 1 &= - 2x^2 + 4x &&{\color{gray}|\, +2x^2} \\[5px] x^3 + 2x^2 + 4x + 1 &= 4x &&{\color{gray}|\, -4x} \\[5px] x^3 + 2x^2 + 1 &= 0 \end{align*} $$
Nein, es handelt es sich nicht um eine quadratische Gleichung, denn die Variable $x$ kommt in einer höheren als der 2. Potenz vor.
Normalform
In der Normalform ist der Koeffizient von $x^2$ gleich $1$:
$x^2 + px + q = 0$ heißt Normalform einer quadratischen Gleichung.
Zur Erinnerung: Wenn der Koeffizient gleich $1$ ist, schreiben wir ihn nicht extra auf, denn $1 \cdot x^2 = x^2$.
Dabei ist $\boldsymbol{x^2}$ das quadratische Glied, $\boldsymbol{px}$ das lineare Glied und $\boldsymbol{q}$ das absolute Glied.
Jede quadratische Gleichung lässt sich durch Äquivalenzumformungen in die Normalform bringen.
Um eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form in die Normalform umzuwandeln, müssen wir lediglich durch den Koeffizienten von $x^2$ (also $a$) dividieren.
Berechne die Normalform der quadratischen Gleichung $2x^2 + 4x + 1 = 0$.
$$ \begin{align*} {\color{red}2}x^2 + 4x + 1 &= 0 &&{\color{red}|\, :2} \\[5px] \frac{{\color{red}2}x^2 + 4x + 1}{\color{red}2} &= \frac{0}{\color{red}2} \\[5px] \frac{{\color{red}2}x^2}{\color{red}2} + \frac{4x}{\color{red}2} + \frac{1}{\color{red}2} &= \frac{0}{\color{red}2} \\[5px] x^2 + 2x + 0{,}5 &= 0 \end{align*} $$
Arten
Es gibt vier verschiedene Arten von quadratischen Gleichungen. Die Einteilung basiert auf dem Vorhandensein des linearen Glieds ($bx$) und des absoluten Glieds ($c$). Nur wenn du in der Lage bist, diese vier Arten voneinander zu unterscheiden, kannst du das jeweils am besten geeignete Lösungsverfahren auswählen.
Reinquadratische Gleichungen
Bei reinquadratischen Gleichungen ist das lineare Glied ($bx$) nicht vorhanden:
Gleichungen, die sich durch Äquivalenzumformungen auf die Form
$$ ax^2 + c = 0 \quad (a, c \in \mathbb{R}; a \neq 0) $$
bringen lassen, heißen reinquadratische Gleichungen.
Gemischtquadratische Gleichungen
Bei gemischtquadratischen Gleichungen ist das lineare Glied ($bx$) vorhanden:
Gleichungen, die sich durch Äquivalenzumformungen auf die Form
$$ ax^2 + bx + c = 0 \quad (a, b, c \in \mathbb{R}; a, b \neq 0) $$
bringen lassen, heißen gemischtquadratische Gleichungen.
Quadratische Gleichungen lösen
Die Zahlen, die wir für $x$ einsetzen dürfen, stammen aus der sog. Definitionsmenge. Jede Zahl aus der Definitionsmenge, die beim Einsetzen für $x$ zu einer wahren Aussage führt, heißt Lösung der Gleichung. Die Lösungen werden in der Lösungsmenge zusammengefasst.
Eine quadratische Gleichung kann keine, eine oder zwei Lösungen haben.
Der obige Satz gilt nur, wenn die Definitionsmenge der Menge der reellen Zahlen entspricht: $\mathbb{D} = \mathbb{R}$. In der Schule ist genau das der Fall. Im Studium gilt dagegen oftmals: $\mathbb{D} = \mathbb{C}$. Dann gibt es statt keiner Lösung zwei komplexe Lösungen.
Wie bereits erwähnt, lernen wir für alle vier Arten quadratischer Gleichungen ein Lösungsverfahren, das für die jeweilige Art am besten geeignet ist. Der 1. Fall ist sogar ohne Rechnung lösbar.
$ax^2 = 0$
Reinquadratische Gleichungen ohne Absolutglied besitzen als einzige Lösung die Null.
Reinquadratische Gleichungen ohne Absolutglied lösen wir folgendermaßen:
Gleichung nach $\boldsymbol{x^2}$ auflösen
Wurzel ziehen
Lösungsmenge aufschreiben
$$ x^2 = 0 $$
Gleichung nach $\boldsymbol{x^2}$ auflösen
Dieser Schritt entfällt hier, weil die Gleichung bereits nach $x^2$ aufgelöst ist.
Wurzel ziehen
$$ \begin{align*} x^2 &= 0 &&{\color{gray}|\, \sqrt{\phantom{0}}} \\[5px] \sqrt{x^2} &= \pm\sqrt{0} \\[5px] x &= \pm 0 \\[5px] x &= 0 \end{align*} $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{0\} $$
$$ 3x^2 = 0 $$
Gleichung nach $\boldsymbol{x^2}$ auflösen
$$ \begin{align*} 3x^2 &= 0 &&{\color{gray}|\, :3} \\[5px] \frac{3x^2}{\color{gray}3} &= \frac{0}{\color{gray}3} \\[5px] x^2 &= 0 \end{align*} $$
Wurzel ziehen
$$ \begin{align*} x^2 &= 0 &&{\color{gray}|\, \sqrt{\phantom{0}}} \\[5px] \sqrt{x^2} &= \pm\sqrt{0} \\[5px] x &= \pm 0 \\[5px] x &= 0 \end{align*} $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{0\} $$
$ax^2 + c = 0$
Reinquadratische Gleichungen mit Absolutglied lösen wir folgendermaßen:
Gleichung nach $\boldsymbol{x^2}$ auflösen
Wurzel ziehen
Lösungsmenge aufschreiben
$$ x^2 - 9 = 0 $$
Gleichung nach $\boldsymbol{x^2}$ auflösen
$$ \begin{align*} x^2 - 9 &= 0 &&{\color{gray}|\, +9} \\[5px] x^2 - 9 {\color{gray}\;+\;9} &= 0 {\color{gray}\;+\;9} \\[5px] x^2 &= 9 \end{align*} $$
Wurzel ziehen
$$ \begin{align*} x^2 &= 9 &&{\color{gray}|\, \sqrt{\phantom{9}}} \\[5px] \sqrt{x^2} &= \pm\sqrt{9} \\[5px] x &= \pm 3 \end{align*} $$
Fallunterscheidung
$$ x_1 = -3 $$
$$ x_2 = 3 $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{-3; 3\} $$
$$ 2x^2 + 8 = 0 $$
Gleichung nach $\boldsymbol{x^2}$ auflösen
$$ \begin{align*} 2x^2 + 8 &= 0 &&{\color{gray}|\, -8} \\[5px] 2x^2 + 8 {\color{gray}\;-\;8} &= 0 {\color{gray}\;-\;8} \\[5px] 2x^2 &= -8 &&{\color{gray}|\, :2} \\[5px] \frac{2x^2}{\color{gray}2} &= \frac{-8}{\color{gray}2} \\[5px] x^2 &= -4 \end{align*} $$
Wurzel ziehen
$$ \begin{align*} x^2 &= -4 &&{\color{gray}|\, \sqrt{\phantom{-4}}} \\[5px] \sqrt{x^2} &= \pm\sqrt{-4} \end{align*} $$
$\Rightarrow$ In der Menge der reellen Zahlen ist das Wurzelziehen einer Wurzel mit negativem Radikanden nicht definiert. Aus diesem Grund gibt es keine (reellen) Lösungen!
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{\,\} $$
Anmerkung
Wenn wir die Definitionsmenge der quadratischen Gleichung auf die Menge der komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erweitern, hat diese Gleichung zwei komplexe Lösungen.
$ax^2 + bx = 0$
Gemischtquadratische Gleichungen ohne Absolutglied lösen wir folgendermaßen:
Quadratische Gleichung in Normalform bringen
$\boldsymbol{x}$ ausklammern
Faktoren gleich Null setzen
Gleichungen nach $\boldsymbol{x}$ auflösen
Lösungsmenge aufschreiben
zu 2)
zu 3)
Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
$$ x^2 + 9x = 0 $$
Quadratische Gleichung in Normalform bringen
Dieser Schritt entfällt hier, weil die quadratische Gleichung bereits in Normalform vorliegt!
$\boldsymbol{x}$ ausklammern
$$ x \cdot (x + 9) = 0 $$
Faktoren gleich Null setzen
$$ \underbrace{x\vphantom{()}}_{=\,0} \cdot \underbrace{(x+9)}_{=\,0} = 0 $$
Gleichungen nach $\boldsymbol{x}$ auflösen
1. Faktor
$$ x = 0 $$
2. Faktor
$$ \begin{align*} x + 9 &= 0 &&{\color{gray}|\, -9} \\[5px] x + 9 {\color{gray}\;-\;9} &= 0 {\color{gray}\;-\;9} \\[5px] x &= -9 \end{align*} $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{-9; 0\} $$
$$ -2x^2 + 4x = 0 $$
Quadratische Gleichung in Normalform bringen
$$ \begin{align*} -2x^2 + 4x &= 0 &&{\color{gray}|\, :(-2)} \\[5px] \frac{-2x^2 + 4x}{\color{gray}-2} &= \frac{0}{\color{gray}-2} \\[5px] \frac{-2x^2}{\color{gray}-2} + \frac{4x}{\color{gray}-2} &= \frac{0}{\color{gray}-2} \\[5px] x^2 - 2x &= 0 \end{align*} $$
$\boldsymbol{x}$ ausklammern
$$ x \cdot (x - 2) = 0 $$
Faktoren gleich Null setzen
$$ \underbrace{x\vphantom{()}}_{=\,0} \cdot \underbrace{(x - 2)}_{=\,0} = 0 $$
Gleichungen nach $\boldsymbol{x}$ auflösen
1. Faktor
$$ x = 0 $$
2. Faktor
$$ \begin{align*} x - 2 &= 0 &&{\color{gray}|\, +2} \\[5px] x - 2 {\color{gray}\;+\;2} &= 0 {\color{gray}\;+\;2} \\[5px] x &= 2 \end{align*} $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{0; 2\} $$
$ax^2 + bx + c = 0$
Gemischtquadratische Gleichungen mit Absolutglied lösen wir mit einem dieser Verfahren:
- Quadratische Gleichungen durch quadratische Ergänzung lösen
- Mitternachtsformel, wenn die Gleichung in allgemeiner Form vorliegt
- pq-Formel, wenn die Gleichung in Normalform vorliegt
- Satz von Vieta zum Lösen im Kopf, wenn die Lösungen ganzzahlig sind
Neben den oben genannten exakten Verfahren gibt es noch ein Verfahren, das Näherungslösungen produziert: Quadratische Gleichungen grafisch lösen.
