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Größter gemeinsamer Teiler

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT).

Notwendiges Vorwissen: Teiler und Primfaktorzerlegung

Der größte gemeinsame Teiler ist die größte natürliche Zahl,
durch die sich zwei ganze Zahlen ohne Rest teilen lassen.

Beispiel

Gesucht ist der größte gemeinsame Teiler von 12 und 18.

Teiler von 12 sind: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Teiler von 18 sind: 1, 2, 3, 6, 9, 18

Teiler, die 12 und 18 gemeinsam haben, sind: 1, 2, 3, 6

Der größte gemeinsame Teiler von 12 und 18 ist 6.
\(\Rightarrow \text{ggT}(12;18) = 6\)

Anwendungen

Im Folgenden findest du einige Beispiele, wann das ggT eine Rolle spielt:

Größter gemeinsamer Teiler berechnen

Vorgehensweise

  1. Primfaktorzerlegung
  2. Primfaktoren markieren, die in beiden Zerlegungen vorkommen
  3. Gemeinsame Primfaktoren miteinander multiplizieren

In Worten:
Der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen ist das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren.

Beispiel 1

Gesucht ist der größte gemeinsame Teiler von 10 und 12.

1.) Primfaktorzerlegung

\(10 = 2 \cdot 5\)

\(12 = 2 \cdot 2 \cdot 3\)

2.) Primfaktoren markieren, die in beiden Zerlegungen vorkommen

\(10 ={\colorbox{yellow}{\(2\)}} \cdot 5\)

\(12 ={\colorbox{yellow}{\(2\)}} \cdot 2 \cdot 3\)

Erklärung

Es gibt einen gemeinsamen Primfaktor. Dabei handelt es sich um eine 2.

3.) Gemeinsame Primfaktoren miteinander multiplizieren

In diesem Fall gibt es nur einen gemeinsamen Primfaktor, weshalb eine Multiplikation entfällt.

\(\text{ggT}(10;12) ={\colorbox{yellow}{\(2\)}}\)

Der größte gemeinsame Teiler von 10 und 12 ist 2.

Beispiel 2

Gesucht ist der größte gemeinsame Teiler von 20 und 12.

1.) Primfaktorzerlegung

\(20 = 2 \cdot 2 \cdot 5\)

\(12 = 2 \cdot 2 \cdot 3\)

2.) Primfaktoren markieren, die in beiden Zerlegungen vorkommen

\(20 ={\colorbox{orange}{\(2\)}} \cdot{\colorbox{orange}{\(2\)}} \cdot 5\)

\(12 ={\colorbox{orange}{\(2\)}} \cdot{\colorbox{orange}{\(2\)}} \cdot 3\)

Erklärung

Es gibt zwei gemeinsame Primfaktoren. Die 2 kommt in beiden Zerlegungen zweimal vor.

3.) Gemeinsame Primfaktoren miteinander multiplizieren

\(\text{ggT}(20;12) ={\colorbox{orange}{\(2\)}} \cdot{\colorbox{orange}{\(2\)}} = 4\)

Der größte gemeinsame Teiler von 20 und 12 ist 4.

Beispiel 3

Gesucht ist der größte gemeinsame Teiler von 15 und 90.

1.) Primfaktorzerlegung

\(15 = 3 \cdot 5\)

\(90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5\)

2.) Primfaktoren markieren, die in beiden Zerlegungen vorkommen

\(15 ={\colorbox{yellow}{\(3\)}} \cdot{\colorbox{yellow}{\(5\)}}\)

\(90 = 2 \cdot{\colorbox{yellow}{\(3\)}} \cdot 3 \cdot{\colorbox{yellow}{\(5\)}}\)

Erklärung

Es gibt zwei gemeinsame Primfaktoren. Es handelt sich um eine 3 und eine 5.

3.) Gemeinsame Primfaktoren miteinander multiplizieren

\(\text{ggT}(15;90) ={\colorbox{yellow}{\(3\)}} \cdot{\colorbox{yellow}{\(5\)}} = 15\)

Der größte gemeinsame Teiler von 15 und 90 ist 15.

Primzahlen, Vielfache und Teiler

Weitere Informationen zu diesem Themebereich findest du in den folgenden Artikeln:

Primzahlen
Teilbarkeitsregeln
Primfaktorzerlegung
Vielfaches
> Vielfachenmenge
Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
Teiler
> Teilermenge
Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!