Teilermenge
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Teilermenge einer natürlichen Zahl ist.
Definition
Jede natürliche Zahl $> 1$ hat mindestens zwei Teiler. Der Übersichtlichkeit halber fassen wir alle Teiler einer natürlichen Zahl in einer Menge zusammen und geben dieser Menge einen Namen:
Die Menge aller Teiler einer natürlichen Zahl $a$ heißt Teilermenge $\boldsymbol{T_a}$.
Sprechweise
$T_6$ lesen wir als T 6
oder Die Teilermenge von 6
.
Anmerkung
Die Teilermenge darf nicht mit der Teilmenge verwechselt werden!
Teilermenge bestimmen
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um die Teilermenge zu bestimmen.
Methode 1
Wer sich in der Teilbarkeitslehre noch nicht auskennt, muss wohl oder übel schriftlich dividieren.
Bestimme die Teilermenge von $6$.
$6 : \class{mb-green}{1} = 6 \;\class{mb-green}{\checkmark}$$6 : \class{mb-green}{2} = 3 \;\class{mb-green}{\checkmark}$$6 : \class{mb-green}{3} = 2 \;\class{mb-green}{\checkmark}$$6 : \class{mb-red}{4} = 1 \class{mb-red}{\text{ Rest } 2}$$6 : \class{mb-red}{5} = 1 \class{mb-red}{\text{ Rest } 1}$$$ 6 : \class{mb-green}{6} = 1 \;\class{mb-green}{\checkmark} $$
$$ \Rightarrow T_6 = \{\class{mb-green}{1}, \class{mb-green}{2}, \class{mb-green}{3}, \class{mb-green}{6}\} $$
Methode 2
Wir können uns viele der schriftlichen Divisionen sparen, wenn wir einige Regeln beachten:
Unechte Teiler
- Die Zahl
$1$ist in der Teilermenge jeder natürlichen Zahl$a$enthalten. - Die Zahl
$a$selbst ist in der Teilermenge jeder natürlichen Zahl$a > 0$enthalten.
Echte Teiler
- Die Zahlen zwischen
$1$und$a$prüfen wir durch Anwendung der Teilbarkeitsregeln. Wenn dir für eine Zahl keine Teilbarkeitsregel bekannt ist, musst du schriftlich dividieren. - Ist
$t$Teiler von$a$, ist auch$a : t$Teiler von$a$. ($\rightarrow$Komplementärteiler) - Ist
$t$kein Teiler von$a$, sind auch alle Vielfachen von$t$keine Teiler von$a$.
Grundsätzlich beginnen wir die Überprüfung auf echte Teiler mit der Zahl $2$ und hören dann auf, wenn wir auf ein Paar komplementärer Teiler stoßen, zwischen dem keine weiteren Teiler liegen.
Bestimme die Teilermenge von $12$.
Unechte Teiler bestimmen
$\class{mb-green}{1}$ ist in der Teilermenge jeder natürlichen Zahl enthalten.
Die Zahl $\class{mb-green}{12}$ selbst in in der Teilermenge enthalten.
Echte Teiler bestimmen
$\class{mb-green}{2}$ ist in $T_{12}$ enthalten, denn die Endziffer von $12$ ist $2$. ($\rightarrow$ Teilbarkeitsregel 2)
Da $2$ ein Teiler von $12$ ist, ist auch $12 : 2 = \class{mb-green}{6}$ ein Teiler von $12$.
$\class{mb-green}{3}$ ist in $T_{12}$ enthalten, denn $Q(12) = 3$ und $3 : 3 = 1$. ($\rightarrow$ Teilbarkeitsregel 3)
Da $3$ ein Teiler von $12$ ist, ist auch $12 : 3 = \class{mb-green}{4}$ ein Teiler von $12$.
Zwischen der $\class{mb-green}{3}$ und ihrem komplementären Teiler $\class{mb-green}{4}$ liegen keine weiteren natürlichen Zahlen, woraus folgt, dass wir die Überprüfung beenden können.
Teilermenge aufschreiben
$$ T_{12} = \{\class{mb-green}{1}, \class{mb-green}{2}, \class{mb-green}{3}, \class{mb-green}{4}, \class{mb-green}{6}, \class{mb-green}{12}\} $$
Bestimme die Teilermenge von $16$.
Unechte Teiler bestimmen
$\class{mb-green}{1}$ ist in der Teilermenge jeder natürlichen Zahl enthalten.
Die Zahl $\class{mb-green}{16}$ selbst in in der Teilermenge enthalten.
Echte Teiler bestimmen
$\class{mb-green}{2}$ ist in $T_{16}$ enthalten, denn die Endziffer von $16$ ist $6$.
Da $2$ ein Teiler von $16$ ist, ist auch $16 : 2 = \class{mb-green}{8}$ ein Teiler von $16$.
$\class{mb-red}{3}$ ist nicht in $T_{16}$ enthalten, denn $Q(16) = 7$ und $7 : 3 = 2 \class{mb-red}{\text{ Rest } 1}$.
$\class{mb-green}{4}$ ist in $T_{16}$ enthalten, denn $16 : 4 = 4$. ($\rightarrow$ Teilbarkeitsregel 4)
Da $4$ ein Teiler von $16$ ist, ist auch $16 : 4 = \class{mb-green}{4}$ ein Teiler von $16$.
Zwischen der $\class{mb-green}{4}$ und ihrem komplementären Teiler $\class{mb-green}{4}$ liegen keine weiteren natürlichen Zahlen, woraus folgt, dass wir die Überprüfung beenden können.
Anmerkung
Der komplementäre Teiler von $4$ bezüglich der Zahl $16$ ist $4$, denn $4 \cdot 4 = 16$. Obwohl der Teiler $4$ genau genommen zweimal vorkommt, schreiben wir ihn nur einmal in die Teilermenge, denn in einer Menge darf jedes Element nur einmal vorkommen. Daraus folgt, dass die Teilermengen von Quadratzahlen ($1$, $4$, $9$, $16$, $25$, $36$, $49$…) aus einer ungeraden Anzahl an Elementen bestehen.
Teilermenge aufschreiben
$$ T_{16} = \{\class{mb-green}{1}, \class{mb-green}{2}, \class{mb-green}{4}, \class{mb-green}{8}, \class{mb-green}{16}\} $$
Bestimme die Teilermenge von $28$.
Unechte Teiler bestimmen
$\class{mb-green}{1}$ ist in der Teilermenge jeder natürlichen Zahl enthalten.
Die Zahl $\class{mb-green}{28}$ selbst in in der Teilermenge enthalten.
Echte Teiler bestimmen
$\class{mb-green}{2}$ ist in $T_{28}$ enthalten, denn die Endziffer von $28$ ist $8$.
Da $2$ ein Teiler von $28$ ist, ist auch $28 : 2 = \class{mb-green}{14}$ ein Teiler von $28$.
$\class{mb-red}{3}$ ist nicht in $T_{28}$ enthalten, denn $Q(28) = 10$ und $10 : 3 = 3 \class{mb-red}{\text{ Rest } 1}$.
$\class{mb-green}{4}$ ist in $T_{28}$ enthalten, denn $28 : 4 = 7$.
Da $4$ ein Teiler von $28$ ist, ist auch $28 : 4 = \class{mb-green}{7}$ ein Teiler von $28$.
$\class{mb-red}{5}$ ist nicht in $T_{28}$ enthalten, denn die Endziffer von $28$ ist weder $0$ noch $5$.
$\class{mb-red}{6}$ ist nicht in $T_{28}$ enthalten, denn $6$ ist Vielfaches von $3$ und $3$ ist kein Teiler.
Zwischen der $\class{mb-green}{4}$ und ihrem komplementären Teiler $\class{mb-green}{7}$ liegen keine weiteren Teiler, woraus folgt, dass wir die Überprüfung beenden können.
Teilermenge aufschreiben
$$ T_{28} = \{\class{mb-green}{1}, \class{mb-green}{2}, \class{mb-green}{4}, \class{mb-green}{7}, \class{mb-green}{14}, \class{mb-green}{28}\} $$
Teilermengen aller Zahlen von 0 bis 50
$$ T_0 = \{1\} $$
$$ T_1 = \{1\} $$
$$ T_2 = \{1, 2\} $$
$$ T_3 = \{1, 3\} $$
$$ T_4 = \{1, 2, 4\} $$
$$ T_5 = \{1, 5\} $$
$$ T_6 = \{1, 2, 3, 6\} $$
$$ T_7 = \{1, 7\} $$
$$ T_8 = \{1, 2, 4, 8\} $$
$$ T_9 = \{1, 3, 9\} $$
$$ T_{10} = \{1, 2, 5, 10\} $$
$$ T_{11} = \{1, 11\} $$
$$ T_{12} = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\} $$
$$ T_{13} = \{1, 13\} $$
$$ T_{14} = \{1, 2, 7, 14\} $$
$$ T_{15} = \{1, 3, 5, 15\} $$
$$ T_{16} = \{1, 2, 4, 8, 16\} $$
$$ T_{17} = \{1, 17\} $$
$$ T_{18} = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\} $$
$$ T_{19} = \{1, 19\} $$
$$ T_{20} = \{1, 2, 4, 5, 10, 20\} $$
$$ T_{21} = \{1, 3, 7, 21\} $$
$$ T_{22} = \{1, 2, 11, 22\} $$
$$ T_{23} = \{1, 23\} $$
$$ T_{24} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\} $$
$$ T_{25} = \{1, 5, 25\} $$
$$ T_{26} = \{1, 2, 13, 26\} $$
$$ T_{27} = \{1, 3, 9, 27\} $$
$$ T_{28} = \{1, 2, 4, 7, 14, 28\} $$
$$ T_{29} = \{1, 29\} $$
$$ T_{30} = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\} $$
$$ T_{31} = \{1, 31\} $$
$$ T_{32} = \{1, 2, 4, 8, 16, 32\} $$
$$ T_{33} = \{1, 3, 11, 33\} $$
$$ T_{34} = \{1, 2, 17, 34\} $$
$$ T_{35} = \{1, 5, 7, 35\} $$
$$ T_{36} = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\} $$
$$ T_{37} = \{1, 37\} $$
$$ T_{38} = \{1, 2, 9, 38\} $$
$$ T_{39} = \{1, 3, 13, 39\} $$
$$ T_{40} = \{1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40\} $$
$$ T_{41} = \{1, 41\} $$
$$ T_{42} = \{1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42\} $$
$$ T_{43} = \{1, 43\} $$
$$ T_{44} = \{1, 2, 4, 11, 22, 44\} $$
$$ T_{45} = \{1, 3, 5, 9, 15, 45\} $$
$$ T_{46} = \{1, 2, 23, 46\} $$
$$ T_{47} = \{1, 47\} $$
$$ T_{48} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48\} $$
$$ T_{49} = \{1, 7, 49\} $$
$$ T_{50} = \{1, 2, 5, 10, 25, 50\} $$
Ausblick
- Alle Zahlen, deren Teilermenge aus genau zwei Elementen besteht, heißen Primzahlen. (Bei diesen beiden Elementen handelt es sich um die unechten Teiler der Zahl.)
- Die Schnittmenge mehrerer Teilermengen enthält die gemeinsamen Teiler.
- Der größte gemeinsame Teiler (ggT) hat eine besondere Bedeutung in der Mathematik.
