Vierfeldertafel

In diesem Kapitel besprechen wir die Vierfeldertafel.

Für das Verständnis dieses Artikels ist es erforderlich, dass du bereits weißt, was ein Ereignis ist und wie man mit Ereignissen rechnet (> Ereignisalgebra).

Die Vierfeldertafel eignet sich hervorragend, um die Verknüpfungen von Ereignissen zu visualisieren. An dieser Stelle geht es vor allem darum, die Vierfeldertafel zu verstehen und richtig zu interpretieren.

Wie der Name bereits vermuten lässt, besteht die Vierfeldertafel aus vier Feldern. Wichtig ist, dass man sich die richtige Beschriftung merkt.

Alle vier Felder zusammen entsprechen dem Ergebnisraum \(\Omega\).

Das farblich hervorgehobene Feld beschreibt diejenigen Elemente des Ergebnisraums \(\Omega\), die sowohl in dem Ereignis A als auch in dem Ereignis B vorkommen: \(A \cap B\).

Beispiel
\(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\);
\(A = \{2,4,6\}\); \(B = \{2,3,5\}\);

\(A \cap B = \{2\}\)

Das farblich hervorgehobene Feld beschreibt diejenigen Elemente des Ergebnisraums \(\Omega\), die in dem Ereignis A, aber nicht zugleich in dem Ereignis B, vorkommen: \(A \cap \bar{B}\).

Beispiel
\(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\);
\(A = \{2,4,6\}\); \(B = \{2,3,5\}\);

\(A \cap \bar{B} = \{4,6\}\)

Das farblich hervorgehobene Feld beschreibt diejenigen Elemente des Ergebnisraums \(\Omega\), die in dem Ereignis B, aber nicht zugleich in dem Ereignis A, vorkommen: \(\bar{A} \cap B\).

Beispiel
\(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\);
\(A = \{2,4,6\}\); \(B = \{2,3,5\}\);

\(\bar{A} \cap B = \{3,5\}\)

Das farblich hervorgehobene Feld beschreibt diejenigen Elemente, die weder in dem Ereignis A noch in dem Ereignis B vorkommen: \(\bar{A} \cap \bar{B}\).

Beispiel
\(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\);
\(A = \{2,4,6\}\); \(B = \{2,3,5\}\);

\(\bar{A} \cap \bar{B} = \{1\}\)

Zusammenfassung

\(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\);
\(A = \{2,4,6\}\); \(B = \{2,3,5\}\);

\(A \cap B = \{2\}\)
\(A \cap \bar{B} = \{4,6\}\)
\(\bar{A} \cap B = \{3,5\}\)
\(\bar{A} \cap \bar{B} = \{1\}\)

Vierfeldertafel - Beispiele

Im Folgenden werden einige besondere Teilmengen des Ergebnisraums diskutiert.

Das Ereignis A tritt ein.

Entsprechend werden auch folgende Ereignisse gebildet:

Das Ereignis B tritt ein.
Das Ereignis A tritt nicht ein (=\(\bar{A}\) tritt ein).
Das Ereignis B tritt nicht ein (=\(\bar{B}\) tritt ein).

Mindestens eines der beiden Ereignisse tritt ein: \(A \cup B\).

Keines der beiden Ereignisse A oder B tritt ein: \(\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}\).

Es handelt sich um eines der Gesetze von De Morgan (vgl. Ereignisalgebra).

Höchstens eines der beiden Ereignisse A oder B tritt ein, jedoch nicht beide gleichzeitig: \(\overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}\).

Es handelt sich um eines der Gesetze von De Morgan (vgl. Ereignisalgebra).

Genau eines von beiden Ereignissen tritt ein: \((A \cap \bar{B}) \cup (\bar{A} \cap B)\).

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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