Ereignisalgebra

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Ereignisalgebra.

Wiederholung: Zufallsexperiment, Ergebnis, Ergebnisraum und Ereignis

  • Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch mit zufälligem Ausgang.
    Beispiel: Werfen eines Würfels
  • Der Ausgang eines Zufallsexperiments heißt Ergebnis \(\omega\) („Klein-Omega“).
    Beispiel (Würfelwurf): \(\omega_1 = 1\), \(\omega_2 = 2\), \(\omega_3 = 3\), \(\omega_4 = 4\), \(\omega_5 = 5\), \(\omega_6 = 6\)
  • Die Menge aller möglichen Ergebnisse heißt Ergebnisraum \(\Omega\) („Groß-Omega“).
    Beispiel (Würfelwurf): \(\Omega = \{\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4,\omega_5,\omega_6\} = \{1,2,3,4,5,6\}\)

  • Jede Teilmenge \(E\) des Ergebnisraums \(\Omega\) heißt Ereignis.
    Beispiel (Würfelwurf): \(E\colon \text{„Gerade Augenzahl“} \quad \Rightarrow \quad E = \{2, 4, 6\}\)

  • Ein Ereignis \(E\) tritt ein, wenn das Ergebnis \(\omega\) ein Element von \(E\) ist.
    Beispiel (Würfelwurf): Wir würfeln eine \(4\) \(\Rightarrow\) \(E = \{2, 4, 6\}\) ist eingetreten.

Die Ereignisalgebra lehrt uns, mit Ereignissen zu rechnen.

Wir sprechen in diesem Zusammenhang auch von der „Verknüpfung von Ereignissen“.

Verknüpfungen von Ereignissen

Wir wissen bereits: Ereignisse sind Mengen \(\Rightarrow\) Ereignisalgebra = Mengenalgebra!

Aufgabenstellung

Ein Würfel wird einmal geworfen und die Augenzahl festgestellt.

Für den Ergebnisraum gilt: \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\).

Wir interessieren uns für die beiden Ereignisse
\(A\colon \text{„Augenzahl ist gerade“} = \{2,4,6\}\)
\(B\colon \text{„Augenzahl ist Primzahl“} = \{2,3,5\}\)

a) Vereinigung

Das Ereignis \(A \cup B\) (sprich: „A oder B“) ist die Menge aller Elemente,
die entweder zu \(A\) oder zu \(B\) - oder zu beiden Ereignissen - gehören:

\(A \cup B = \{\omega\,|\, \omega \in A \enspace \vee \enspace \omega \in B\}\)

Sprechweise

\(\underbrace{\vphantom{\big \vert}A \cup B}_\text{A oder B}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}=}_\text{ist}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}\{}_\text{die Menge aller}~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}\omega}_{\omega}~ \underbrace{\vert}_\text{für die gilt:}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}\omega \in A}_{\omega\text{ ist Element von A}}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}\vee}_\text{oder}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}\omega \in B}_{\omega\text{ ist Element von B}}~~ \}\)

Bezeichnung

\(A \cup B\) heißt Vereinigung von \(A\) und \(B\) (siehe auch: Vereinigungsmenge).

Beispiel

\(A = \{{\color{red}2}, {\color{red}4}, {\color{red}6}\}\);
\(B = \{{\color{red}2}, {\color{red}3}, {\color{red}5}\}\);

\(\Rightarrow A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6\}\)

Zu \(A \cup B\) gehören alle Elemente, die zu \(A\) (und) oder zu \(B\) gehören.

Anmerkung: Obwohl das Element „2“ sowohl in \(A\) als auch in \(B\) vorkommt, wird es in der Menge \(A \cup B\) nur einmal genannt. Grund dafür ist, dass in einer Menge jedes Element nur einmal vorkommen kann. Mehrfachnennungen sind ausgeschlossen!


\(A \cup B\)
im Mengendiagramm

b) Durchschnitt

Das Ereignis \(A \cap B\) (sprich: „A und B“) ist die Menge aller Elemente,
die sowohl zu \(A\) als auch zu \(B\) gehören:

\(A \cap B = \{\omega\,|\, \omega \in A \enspace \wedge \enspace \omega \in B\}\)

Sprechweise

\(\underbrace{\vphantom{\big \vert}A \cap B}_\text{A und B}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}=}_\text{ist}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}\{}_\text{die Menge aller}~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}\omega}_{\omega}~ \underbrace{\vert}_\text{für die gilt:}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}\omega \in A}_{\omega\text{ ist Element von A}}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}\wedge}_\text{und}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}\omega \in B}_{\omega\text{ ist Element von B}}~~ \}\)

Bezeichnung

\(A \cap B\) heißt Durchschnitt von \(A\) und \(B\) (siehe auch: Schnittmenge).

Beispiel

\(A = \{{\color{red}2}, 4, 6\}\);
\(B = \{{\color{red}2}, 3, 5\}\);

\(\Rightarrow A \cap B = \{2\}\)

Zu \(A \cap B\) gehören alle Elemente, die sowohl in \(A\) als auch in \(B\) enthalten sind.


\(A \cap B\)
im Mengendiagramm

c) Gegenereignis

Das \(\bar{A}\) (sprich: „nicht A“ oder „A quer“) ist die Menge aller Elemente,
die nicht zu \(A\) gehören:

\(\bar{A} = \{\omega \,|\, \omega \notin A\}\)

Sprechweise

\(\underbrace{\vphantom{\vert}\bar{A}}_\text{A quer}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}=}_\text{ist}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}\{}_\text{die Menge aller}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}\omega}_{\omega}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}|}_\text{für die gilt:}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}\omega \notin A}_{\omega\text{ ist kein Element von A}}~~ \}\)

Bezeichnung

\(\bar{A}\) heißt Gegenereignis oder Komplementärereignis zu \(A\) (siehe auch: Komplement).

Beispiel

\(\Omega = \{{\color{red}1}, {\color{green}2}, {\color{red}3}, {\color{green}4}, {\color{red}5}, {\color{green}6}\}\);
\(A = \{{\color{green}2}, {\color{green}4}, {\color{green}6}\}\);

\(\Rightarrow \bar{A} = \{1, 3, 5\}\)

Zu \(\bar{A}\) gehören alle Elemente von \(\Omega\), die nicht in \(A\) enthalten sind.


\(\bar{A}\)
im Mengendiagramm

d) Differenz

Das Ereignis \(A \setminus B\) (sprich: „A ohne B“) ist die Menge aller Elemente,
die zu \(A\), nicht aber zu \(B\) gehören:

\(A \setminus B = A \cap \bar{B} = \{\omega \,|\, \omega \in A \enspace \wedge \enspace \omega \notin B\}\)

Sprechweise

\(\underbrace{\vphantom{\big \vert}A \setminus B}_\text{A ohne B}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}=}_\text{ist}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}\{}_\text{die Menge aller}~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}\omega}_{\omega}~ \underbrace{\vert}_\text{für die gilt:}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}\omega \in A}_{\omega\text{ ist Element von A}}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}\wedge}_\text{und}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}\omega \notin B}_{\omega\text{ ist kein Element von B}}~~ \}\)

Bezeichnung

\(A \setminus B\) heißt Differenz von \(A\) und \(B\) (siehe auch: Differenzmenge).

Beispiel

\(A = \{{\color{green}2}, {\color{red}4}, {\color{red}6}\}\);
\(B = \{{\color{green}2}, 3, 5\}\);

\(\Rightarrow A \setminus B = \{4, 6\}\)

Zu \(A \setminus B\) gehören alle Elemente von \(A\), die nicht in \(B\) enthalten sind.


\(A \setminus B\)
im Mengendiagramm

e) Symmetrische Differenz

Siehe auch: Symmetrische Differenz

Das Ereignis \((A \cap \bar{B}) \cup (\bar{A} \cap B)\) ist die Menge aller Elemente,
die zu \(A\) oder zu \(B\), nicht aber zu beiden Ereignissen gehören.

Beispiel

\(A = \{{\color{green}2}, {\color{red}4}, {\color{red}6}\}\);
\(B = \{{\color{green}2}, {\color{red}3}, {\color{red}5}\}\);

\(\Rightarrow (A \cap \bar{B}) \cup (\bar{A} \cap B) = \{3, 4, 5, 6\}\)

Zu \((A \cap \bar{B}) \cup (\bar{A} \cap B)\) gehören alle Elemente, die entweder nur zu \(A\) oder nur zu \(B\) gehören.


\((A \cap \bar{B}) \cup (\bar{A} \cap B)\)
im Mengendiagramm

f) Disjunkte Ereignisse

Zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) heißen disjunkt (oder unvereinbar),
wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben:

\(A \cap B = \varnothing \quad \Leftrightarrow \quad \text{\(A\) und \(B\) sind disjunkt}\)

Beispiel

\(A\colon \text{„Augenzahl ist gerade“} = \{2, 4, 6\}\);
\(B\colon \text{„Augenzahl ist ungerade“} = \{1, 3, 5\}\);

\(\Rightarrow A \cap B = \{\,\} = \varnothing\)

\(A\) und \(B\) haben keine Elemente gemeinsam (> leere Menge). Man sagt: \(A\) und \(B\) sind disjunkt.


\(A \cap B = \varnothing\)
im Mengendiagramm

Rechengesetze der Ereignisalgebra

Bei Vereinigung und Durchschnitt spielt die Reihenfolge der Ereignisse keine Rolle:

Kommutativgesetze Bei Zahlen (siehe Kommutativgesetz)
\(A \cup B = B \cup A\) \({\color{grey}a + b = b + a}\)
\(A \cap B = B \cap A\) \({\color{grey}a \cdot b = b \cdot a}\)

Bei mehr als zwei Ereignissen spielt die Art der Klammerung keine Rolle:

Assoziativgesetze Bei Zahlen (siehe Assoziativgesetz)
\((A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\) \({\color{grey}(a + b) + c = a + (b + c)}\)
\((A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\) \({\color{grey}(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)}\)

Zwischen Vereinigung und Durchschnitt bestehen außerdem folgende Zusammenhänge:

Distributivgesetze Bei Zahlen (siehe Distributivgesetz)
\(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\) \({\color{grey}a \cdot (b+c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)}\)
\(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\) \({\color{grey}\text{Dieses Gesetz gibt es bei Zahlen nicht!}}\)

Weitere Gesetze der Ereignisalgebra

Absorptionsgesetze \(A \cap (A \cup B) = A\)
\(A \cup (A \cap B) = A\)
Idempotenzgesetze \(A \cap A = A\)
\(A \cup A = A\)
De-Morgan-Gesetze \(\bar{A} \cap \bar{B} = \overline{A \cup B}\)
\(\bar{A} \cup \bar{B} = \overline{A \cap B}\)
Neutrale Elemente \(A \cap \Omega = A\)
\(A \cup \varnothing = A\)
Dominante Elemente \(A \cap \varnothing = \varnothing\)
\(A \cup \Omega = \Omega\)
Komplemente \(A \cap \bar{A} = \varnothing\)
\(A \cup \bar{A} = \Omega\)
\(\bar{\bar{A}} = A\)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!