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Normierte Zeilenstufenform

Jede beliebige Matrix kann in eine normierte Zeilenstufenform umgewandelt werden. Doch was ist diese Zeilenstufenform überhaupt und wie berechnet man sie?

* statt von der normierten Zeilenstufenform spricht man auch von der reduzierten Zeilenstufenform

Definition der Zeilenstufenform

Bevor wir die normierte Zeilenstufenform definieren können, müssen wir einige Begriffe einführen.

Eine Nullzeile ist eine Zeile, in der nur Nullen stehen, die anderen Zeilen sind Nichtnullzeilen.

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

Im Beispiel ist die dritte Zeile eine Nullzeile. Die erste und zweite Zeile sind Nichtnullzeilen.

Das erste von Null verschiedene Element einer Nichtnullzeile nennen wir den Zeilenführer dieser Zeile.

\(\begin{pmatrix}{\color{red}1}& 2 & 3 & 4\\ 0 &{\color{red}6}& 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 &{\color{red}7}& 8 & 1 \\ 0 & 0 &{\color{red}3}& 3 \end{pmatrix}\)

Die Zeilenführer sind im Beispiel rot markiert.

Jetzt können wir endlich die Zeilenstufenform definieren.

Eine Matrix ist in Zeilenstufenform, falls gilt:

  1. Alle Nichtnullzeilen stehen oberhalb aller Nullzeilen.
  2. Ein Zeilenführer steht stets in einer Spalte rechts vom Führer der Zeile darüber.
  3. Alle Einträge unterhalb des Zeilenführers sind Null.

\(\begin{pmatrix}{\color{red}1}&*&*&*&*\\ 0 &{\color{red}6}&*&*&* \\ 0 & 0 & 0 &{\color{red}5}&* \\ 0 &0& 0 & 0 &{\color{red}7}\\ 0 & 0 &0& 0 & 0\end{pmatrix}\)

Beispiel einer Matrix in Zeilenstufenform (\(*\) = beliebiger Wert)

Charakteristisch für die Zeilenstufenform ist, dass die Zeilenführer wie Treppenstufen angeordnet sind - also nach unten wandern. Demnach kann in einer Spalte maximal ein Zeilenführer auftreten!

Eine Matrix in Zeilenstufenform ist in normierter Zeilenstufenform, wenn sie zusätzlich die folgenden Bedingungen erfüllt:

  1. Jeder Zeilenführer hat den Wert 1
  2. Jeder Zeilenführer ist der einzige Eintrag in seiner Spalte, der nicht gleich Null ist.

\(\begin{pmatrix}{\color{red}1}&0&*&0&0\\ 0 &{\color{red}1}&*&0&0 \\ 0 & 0 & 0 &{\color{red}1}&0 \\ 0 &0& 0 & 0 &{\color{red}1}\\ 0 & 0 &0& 0 & 0\end{pmatrix}\)

Beispiel einer Matrix in normierter Zeilenstufenform (\(*\) = beliebiger Wert)

Berechnung der Zeilenstufenform

So weit, so gut. Jetzt wissen wir, was die normierte Zeilenstufenform ist. Doch wie berechnet man sie?

Die Zeilenstufenform erhält man durch sog. "elementare Zeilenumformungen".

Man darf Zeilen...

  • vertauschen
  • mit einer Zahl multiplizieren
  • durch eine Zahl dividieren
  • addieren
  • subtrahieren

Um die Zeilenstufenform zu berechnen verwenden wir den Gauß-Algorithmus. Für die normierte Zeilenstufenform brauchen wir entsprechend den Gauß-Jordan-Algorithmus.

Der Gauß-Jordan-Algorithmus ist ein populäres Verfahren, welches ein Gleichungssystem bzw. eine Matrix in normierte Zeilenstufenform umwandelt.

Wusstest du schon, dass du mit deinem Casio Taschenrechner auch eine Matrix in normierte Zeilenstufenform bringen kannst?

Normierte Zeilenstufenform berechnen - Beispiel

Im Folgenden wird der Gauß-Algorithmus und der Gauß-Jordan-Algorithmus als bekannt vorausgesetzt.

Beispiel 1

\(\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} \underrightarrow{III) - I)} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \underrightarrow{II) + I)} \begin{pmatrix}{\color{red}2}& -1 & 0 \\ 0 &{\color{red}1}& -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

Die Matrix befindet sich in Zeilenstufenform.

Für die normierte Zeilenstufenform fehlen noch zwei Schritte

\(\underrightarrow{I) + II)} \begin{pmatrix}{\color{red}2}& 0 & -2 \\ 0 &{\color{red}1}& -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\underrightarrow{I) : 2} \begin{pmatrix}{\color{red}1}& 0 & -1 \\ 0 &{\color{red}1}& -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

Beispiel 2

\(\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & -6 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \underrightarrow{III) - I)} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & -6 \\ 0 & 1 & -4 \end{pmatrix} \underrightarrow{II) + 2 \cdot I)} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & -4 \end{pmatrix}\)

\(\underrightarrow{III) + II)} \begin{pmatrix} {\color{red}1}& -1 & 2 \\ 0 &{\color{red}-1}& -2 \\ 0 & 0 &{\color{red}-6}\end{pmatrix}\)

Die Matrix befindet sich in Zeilenstufenform.

Für die normierte Zeilenstufenform fehlen noch einige Schritte

\(\underrightarrow{III) : (-6)} \begin{pmatrix} {\color{red}1}& -1 & 2 \\ 0 &{\color{red}-1}& -2 \\ 0 & 0 &{\color{red}1}\end{pmatrix} \underrightarrow{II) + 2 \cdot III)} \begin{pmatrix} {\color{red}1}& -1 & 2 \\ 0 &{\color{red}-1}& 0 \\ 0 & 0 &{\color{red}1}\end{pmatrix} \underrightarrow{I) - 2 \cdot III)} \begin{pmatrix} {\color{red}1}& -1 & 0 \\ 0 &{\color{red}-1}& 0 \\ 0 & 0 &{\color{red}1}\end{pmatrix}\)

\(\underrightarrow{I) - II)} \begin{pmatrix} {\color{red}1}& 0 & 0 \\ 0 &{\color{red}-1}& 0 \\ 0 & 0 &{\color{red}1}\end{pmatrix} \underrightarrow{II) : (-1)} \begin{pmatrix} {\color{red}1}& 0 & 0 \\ 0 &{\color{red}1}& 0 \\ 0 & 0 &{\color{red}1}\end{pmatrix}\)

Wer aufmerksam mitgerechnet hat, dem fällt auf, dass am Ende die Einheitsmatrix herausgekommen ist. Da stellt sich natürlich die Frage, ob das Zufall ist?! Natürlich nicht!

Merke: Die normierte Zeilenstufenform einer invertierbaren Matrix ist die Einheitsmatrix.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!